大家好，我正在尝试用数学归纳法证明这个第二类斯特林数的恒等式：
$$S(n,m) = \sum_{k=m}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} S(k+1, m+1)$$
这里的$S$是第二类斯特林数。

目前我已经通过第二类斯特林数的显式公式完成了证明，推导过程如下：

第二类斯特林数的显式公式为：
$$
S(n,m) = \frac{1}{m!}\sum_{j=0}^{{m}\binom{m}{j}(-1)}{m-j}j^n = \sum_{j=0}^{{m}\frac{(-1)}{m-j}j^n}{j! (m-j)!}
$$

接下来是恒等式的推导：
\begin{align}
\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} S(k+1, m+1) &=\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k} \frac{1}{(m+1)!}\sum_{j=0}^{{m+1}\binom{m+1}{j}(-1)}{m+1-j}j^{k+1} \
&= \frac{1}{(m+1)!}\sum_{j=0}^{{m+1}\binom{m+1}{j}(-1)}{m+1-j}\cdot j\cdot\sum_{k=0}^{n} (-1)^{{n-k}\binom{n}{n-k}j}k \
&= \frac{1}{(m+1)!}\sum_{j=0}^{{m+1}\binom{m+1}{j}(-1)}{m+1-j}\cdot j(j-1)^n \
&= \sum_{j=0}^{{m+1}\frac{(-1)}{m+1-j}(j-1)^n}{(j-1)!(m+1-j)!} \
&= \sum_{j=0}^{{m}\frac{(-1)}{m-j}j^n}{j!(m-j)!} = S(n,m)
\end{align}

不过我在尝试用数学归纳法证明这个恒等式的时候遇到了瓶颈，不知道该怎么合理设置归纳假设、完成递推步骤，希望有大佬能指点一下思路，或者给出归纳法证明的具体步骤~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者emmpati