The decimal representation of $\frac{1}{20^{20}}$ has a string of ZEROs after the decimal point followed by a 9 and then several more digits. How many ZEROs are there in the initial string of ZEROs after the decimal point?

咱们先顺着你已经想到的思路往下走～你把分子分母同乘$5^{{20}$，得到$\frac{5}{20}}{100^{20}} = \frac{5^{20}}{10{40}}$，这一步完全正确！

首先，$\frac{1}{10^{{40}}$写成小数的话，就是小数点后跟着39个零，再接着一个1。现在关键就是搞清楚$5}{20}$是个多少位的数，它会把前面的零抵消掉几个。

咱们来计算一下$5^{20}$的具体值：

• 先分步拆解：$5⁴⁼⁽⁵2)²⁼²⁵2=625$
• $5⁸⁼⁽⁵4)²⁼⁶²⁵2=390625$
• $5^{16}=(58)^2=3906252=152587890625$（这是一个12位数）
• 最后$5^{20}=5{16}×5^4=152587890625×625=95367431640625$，数一下，这是一个14位数，而且第一位数字正好是9，和题目描述的“followed by a 9”完全对应上了！

现在，$\frac{5^{20}}{10{40}}$相当于把这个14位数的小数点往左移动40位。也就是说，原本$\frac{1}{10^{{40}}$是小数点后39个零加1，现在把那个1换成了14位的$5}{20}$，那么小数点后初始连续零的个数就是$40 - 14 = 26$个。

可以简单验证下这个逻辑：比如$\frac{5^2}{104}=\frac{25}{10000}=0.0025$，小数点后有2个零，$4-2=2$，完全符合；再比如$\frac{5^3}{105}=\frac{125}{100000}=0.00125$，小数点后2个零，$5-3=2$，也对得上。所以这个计算是没问题的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nimish Joshi