嘿，这个问题挺有意思的！咱们来拆解一下你定义的这两个多项式，看看有没有已知的对应概念或者研究：

关于$T(G)$的名称与相关研究 #

• 你定义的$T(G) = \sum_{g\in G}\sum_{c\in C(g)}x^{{l(c)}$，本质上属于**置换群的循环加权和多项式**范畴，也有文献称其为**群元素循环类型的长度生成函数**。它是对群中每个元素的所有循环，按长度以$x}{l(c)}$为权重求和后，再遍历整个群汇总的结果。
• 从群论角度看，它可以和置换群的共轭类结构直接挂钩——你给出的共轭类代表元求和形式，其实就是利用了共轭元素有相同循环类型的性质，这也是这类多项式常被用来研究群的共轭类分布的原因。
• 在枚举组合学里，这类多项式是普通循环计数（统计每个元素的循环总数）的扩展，当你令$x=1$时，$T(G)$就等于群中所有元素的循环总数之和，这个数值在群论中是有专门研究的，比如它和群的阶、生成元性质的关联。

关于带点版本$\overline{T}(G)$的名称与相关研究 #

• 你定义的$\overline{T}(G) = x\partial_x T(G)$，展开后是$\sum_{g\in G}\sum_{c\in C(g)} l(c)x^{l(c)}$，相当于给每个循环额外带上了长度的权重。这个版本在组合群论中常被称为长度加权循环和多项式，或者是$T(G)$的长度导数生成函数。
• 你提到的“循环群中$\overline{T}$是循环指数多项式的互反多项式”这个观察非常关键！循环指数多项式（Cycle Index）是$\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\prod_{k=1}^n x_k^{c_k(g)}$（其中$c_k(g)$是$g$中长度为$k$的循环个数），而$\overline{T}(G)$在循环群场景下的互反性，恰恰说明它是循环指数的一种“未归一化、单变量加权”的变体，二者在结构上有深层关联。

相关先行研究方向 #

• 这类多项式在组合群论的枚举问题中应用较多，比如在计算群作用下的轨道加权计数、不动点的长度分布时，会用到类似的生成函数。
• 在表示论领域，它和置换群的特征标理论挂钩，比如结合弗罗贝尼乌斯特征标公式，可以推导这类多项式与群的不可约表示之间的联系。
• 目前这类多项式没有完全统一的标准名称，不同文献会根据具体研究场景给出不同的称呼，但核心的研究内容已经散见于组合群论、置换群枚举的相关文献中。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kenneth Goodenough