关于常微分方程Q'=Q²+rQ的求解方法咨询

阿华AIGC实验室

2026-4-16

嗨，我看到你说自己目前只会解线性常微分方程，现在碰到这个非线性的$Q' = Q^2 + rQ$（其中$r$是正常数），想知道怎么推导出论文里给出的解$Q(t) = \frac{-r e^{rt}}{e{rt}-1}$对吧？别担心，这个方程用分离变量法就能轻松搞定，步骤很直观，我一步步给你拆解：

步骤1：整理方程为可分离变量的形式

原方程可以改写为：
$$\frac{dQ}{dt} = Q(Q + r)$$
我们把含$Q$的项移到左边，含$t$的项留在右边，得到分离变量后的形式：
$$\frac{dQ}{Q(Q + r)} = dt$$

步骤2：对左侧分式做部分分式分解

直接积分$\frac{1}{Q(Q + r)}$有点麻烦，我们可以把它拆成两个简单分式的差。假设：
$$\frac{1}{Q(Q + r)} = \frac{A}{Q} + \frac{B}{Q + r}$$
通分后对比分子可得$1 = A(Q + r) + BQ$，分别代入$Q=0$和$Q=-r$，就能算出$A = \frac{1}{r}$，$B = -\frac{1}{r}$。拆分后方程变成：
$$\frac{1}{r}\left( \frac{1}{Q} - \frac{1}{Q + r} \right) dQ = dt$$

步骤3：两边同时积分

现在左右两边的积分都很容易计算了，对两边分别积分：
$$\frac{1}{r} \int \left( \frac{1}{Q} - \frac{1}{Q + r} \right) dQ = \int dt$$
积分后得到：
$$\frac{1}{r} \left( \ln|Q| - \ln|Q + r| \right) = t + C$$
这里$C$是任意积分常数，我们把$r$乘到右边，简化成：
$$\ln\left| \frac{Q}{Q + r} \right| = rt + C'$$
这里$C' = rC$，是一个新的常数，方便后续计算。

步骤4：化简得到通解

接下来去掉对数，两边取自然指数：
$$\left| \frac{Q}{Q + r} \right| = e^{rt + C'} = K e^{rt}$$
这里$K = e^{C'} > 0$，我们可以去掉绝对值符号，把$K$扩展为任意非零常数（正或负都可以），这样后续能更灵活地匹配初始条件。

现在解出$Q$：
$$\frac{Q}{Q + r} = K e^{rt}$$
两边同乘$Q + r$得：$Q = K e^{rt}(Q + r)$
把含$Q$的项移到左边：$Q - K e^{rt} Q = K r e^{rt}$
提取公因子$Q$：$Q(1 - K e^{rt}) = K r e^{rt}$
最终得到通解：
$$Q(t) = \frac{K r e^{rt}}{1 - K e^{rt}}$$

步骤5：匹配论文中的特解

论文里的解是$Q(t) = \frac{-r e^{rt}}{e{rt}-1}$，我们只需要把通解里的$K$取为$1$，代入后得到：
$$Q(t) = \frac{r e^{rt}}{1 - e^{rt}}$$
将分子分母同时乘以$-1$，就和论文里的形式完全一致了：
$$Q(t) = \frac{-r e^{rt}}{e{rt} - 1}$$