设序列 ${a_n}$ 满足 $a_n \mod 1$ 在子区间 $[a,b) \subseteq [0,1)$ 上等分布。根据等分布的性质，对任意非零整数 $k$，有：
$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N e^{2\pi i k a_n} = \frac{1}{b-a}\int_a^b e^{2\pi i kx}dx$$

我现在想研究固定步长的子序列 ${b_n}$，其中 $b_n = a_{c+Mn}$（$M$ 是固定正整数，$c$ 是非负整数）。我猜测这个子序列的小数部分也应该在 $[a,b)$ 上等分布，但不确定具体的推导依据，希望能得到解答。

解答：你的猜测完全正确！ #

要搞清楚这个问题，咱们从等分布的核心判别准则——Weyl准则入手就很清晰了：

首先回忆一下，一个序列的小数部分在 $[a,b)$ 上相对等分布（就是你说的那种“均匀分布在子区间里”的严格定义），当且仅当对任意非零整数 $k$，它的Weyl和满足你给出的那个积分等式。现在我们只需要验证子序列 ${a_{c+Mn}}$ 也满足这个条件就行。

具体推导步骤：

1. 拆分原序列的Weyl和：
   原序列 ${a_n}$ 可以拆成 $M$ 个互不重叠的步长为 $M$ 的子序列：${a_{c+Mn}}, {a_{c+1+Mn}}, ..., {a_{c+M-1+Mn}}$。原序列的Weyl和可以写成这 $M$ 个子序列Weyl和的平均：
   $$\frac{1}{MN}\sum_{n=0}^{MN-1} e^{2\pi i k a_n} = \frac{1}{M}\sum_{r=0}^{M-1} \left( \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i k a_{c+r+Mn}} \right)$$

2. 利用原序列的等分布性：
   根据已知条件，左边的极限是 $\frac{1}{b-a}\int_a^b e^{2\pi i kx}dx$。现在假设这 $M$ 个子序列中有某一个的Weyl和极限不等于这个值，那剩下的子序列的平均就必须“补”上这个差值，才能让整体平均符合原序列的极限——但这显然和原序列的等分布性矛盾，因为原序列的元素是均匀分布的，不会偏向任何一个步长的子序列。

3. 结论：
   所以每个步长为 $M$ 的子序列的Weyl和极限都等于原序列的Weyl和极限，也就是 $\frac{1}{b-a}\int_a^b e^{2\pi i kx}dx$。根据Weyl准则，子序列 ${a_{c+Mn}}$ 的小数部分必然在 $[a,b)$ 上等分布。

直观理解：

你可以把原序列想象成在 $[a,b)$ 里均匀撒的一堆点，不管你按固定间隔 $M$ 挑点，这些挑出来的点依然是原堆里的均匀采样，自然也会保持在 $[a,b)$ 里的均匀分布，不会扎堆或者空缺。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GatitoPochoton