嗨，你的思路方向完全正确！既然已经想到了n元集合的子集总数是2ⁿ，那我们就从这个点出发，用组合对应关系来连接等式右边的组合数之和。

首先明确一个核心结论：对于任意m元集合，它的所有奇数大小的子集总数等于2^(m-1)。我们用你熟悉的子集逻辑来解释这个结论，再对应到你的两个等式：

假设我们有一个n元集合T，再添加一个新元素x，得到(n+1)元集合S = T ∪ {x}。现在把S的所有奇数大小的子集分成两类：

• 不包含x的奇数大小子集：这些就是T本身的奇数大小子集，数量记为C_odd(T)
• 包含x的奇数大小子集：这类子集去掉x之后，就是T的偶数大小子集（因为奇数大小减1变成偶数），数量记为C_even(T)

那么S的奇数大小子集总数就是C_odd(T) + C_even(T)，而这正好是T的所有子集总数——因为T的子集要么是奇数大小要么是偶数大小，加起来就是2ⁿ。

接下来对应你提出的两种情况：

1. 当n为奇数时：n+1是偶数，S的大小是偶数，所以S中最大的奇数大小子集的大小是n（因为n+1是偶数，比它小的最大奇数就是n）。此时S的奇数大小子集总数就是：
   $$\binom{n+1}{1} + \binom{n+1}{3} + \cdots + \binom{n+1}{n}$$
   这个和等于2ⁿ，对应你的第一个等式。

2. 当n为偶数时：n+1是奇数，S的大小是奇数，所以S中最大的奇数大小子集的大小就是n+1（因为n+1本身是奇数）。此时S的奇数大小子集总数就是：
   $$\binom{n+1}{1} + \binom{n+1}{3} + \cdots + \binom{n+1}{n+1}$$
   这个和等于2ⁿ，对应你的第二个等式。

如果想用代数方法快速验证，也可以借助二项式定理：

• 由二项式展开：$(1+1)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 2^{n+1}$
• 同理：$(1-1)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}(-1)^k = 0$（当n≥1时，n+1≥2，该等式成立）
• 将两个式子相减，得到：$2\sum_{k \text{ 为奇数}} \binom{n+1}{k} = 2^{n+1}$，两边除以2后直接得到$\sum_{k \text{ 为奇数}} \binom{n+1}{k} = 2^n$，这也印证了你的两个等式（不同奇偶的n决定了求和的最后一项是n还是n+1）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user9026