问题描述 #

求区间$(0,1)$上的均匀随机变量$X$的$X^3$的期望。

我的尝试过程 #

我自己先梳理了均匀分布的基本性质，然后尝试从随机变量函数的密度函数入手计算，但遇到了卡点：

• $X$是均匀随机变量（URV），它的概率密度函数$f_X: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$满足：当$x \in (0,1)$时，$f_X(x)=1$；当$x \notin (0,1)$时，$f_X(x)=0$。
• 我一开始写出了期望的表达式：
  $$E[X^{3]=\int_{-\infty}}{\infty}xf_{X^3}(x)dx,\tag 1$$
  这里$f_{X^3}$是$Y=X3$的概率密度函数，但我现在不知道$f_Y$的具体形式，本来想继续推导分布函数，但还没完成，想问问有没有更简便的解法？

解答 #

嗨，其实你不用绕到求$X^3$的密度函数这一步，计算随机变量函数的期望有个更直接的公式，完全可以利用原随机变量的密度函数直接积分：

对于任意可测函数$g(X)$，随机变量函数的期望公式是：
$$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) dx$$

这里你的$g(X)=X^3$，而$X$的密度函数$f_X(x)$在$(0,1)$外都是0，所以积分区间可以直接缩到$(0,1)$：
$$E[X^3] = \int_{0}^{1} x^3 \cdot 1 dx$$

计算这个定积分：
$$\int_{0}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$$

如果你还是想通过求$Y=X^3$的密度函数来验证，那也可以：

1. 先求$Y$的分布函数$F_Y(y)$：当$y \in (0,1)$时，$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^3 \leq y) = P(X \leq y^{1/3}) = y^{1/3}$（因为$X$在$(0,1)$上的分布函数是$F_X(x)=x$）；当$y \leq 0$时$F_Y(y)=0$，$y \geq 1$时$F_Y(y)=1$。
2. 对分布函数求导得到密度函数：$f_Y(y) = F_Y'(y) = \frac{1}{3} y^{-2/3}$，$y \in (0,1)$，其他区间为0。
3. 代入你一开始写的期望公式：
   $$E[Y] = \int_{0}^{1} y \cdot \frac{1}{3} y^{-2/3} dy = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} y^{1/3} dy = \frac{1}{3} \cdot \left. \frac{3}{4} y^{4/3} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}$$
   结果和直接积分的方法一致，所以答案就是$\frac{1}{4}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley