请问如何找到图中倾斜曲面E的法向量？要求形式为 $A\hat j + B\hat k$，如果可以的话请展示步骤，谢谢！

我来给你一步步拆解怎么求这个法向量哈：

核心思路 #

求平面法向量的关键是找到平面上两个不共线的向量，计算它们的叉积——叉积的结果就是平面的一个法向量，刚好能满足你要的$A\hat j + B\hat k$形式（x分量为0）。

具体步骤 #

• 第一步：确定平面上的三个顶点
  只需要三个不共线的点就能确定这个平面，这里选取三个顶点：
  $P_1 = (1.3,0.5,0)$，$P_2 = (1.3,0,0.7)$，$P_3 = (0,0,0.7)$

• 第二步：计算平面上的两个向量
  从同一个顶点（这里选$P_1$）出发，计算另外两个点到它的向量：
  $\vec{P_{21}} = P_1 - P_2 = (1.3-1.3, 0.5-0, 0-0.7) = (0, 0.5, -0.7)$
  $\vec{P_{31}} = P_1 - P_3 = (1.3-0, 0.5-0, 0-0.7) = (1.3, 0.5, -0.7)$

• 第三步：计算两个向量的叉积
  用行列式展开计算叉积$\vec{P_{21}} \times \vec{P_{31}}$：
  $$
  \begin{vmatrix}
  \hat i & \hat j & \hat k \
  0 & 0.5 & -0.7 \
  1.3 & 0.5 & -0.7
  \end{vmatrix}
  $$
  逐项展开计算：

  • x分量：$\hat i \times (0.5 \times (-0.7) - (-0.7) \times 0.5) = \hat i \times (-0.35 + 0.35) = 0\hat i$，刚好符合你要的x分量为0的要求
  • y分量：$-\hat j \times (0 \times (-0.7) - (-0.7) \times 1.3) = -\hat j \times (0 + 0.91) = -0.91\hat j$
  • z分量：$\hat k \times (0 \times 0.5 - 0.5 \times 1.3) = \hat k \times (0 - 0.65) = -0.65\hat k$

  最终得到的法向量为 $\boldsymbol{-0.91\hat j -0.65\hat k}$；如果需要同向的法向量，也可以乘以-1得到 $0.91\hat j + 0.65\hat k$（平面的法向量方向相反也是有效法向量）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amit M