嘿，我来帮你理清这个问题！你其实找对了期望的表达式，但完全不用担心——这个级数绝对是收敛的，而且算出来刚好等于2，和书里的结论完全一致。

先再明确下场景：智能体在两个方格中的一个，每次抛硬币，有1/2的概率正面（直接移动到目标方格），1/2的概率反面（留在原地）。我们要算首次到达目标方格的期望步数E(N)。

方法一：递推法（更直观，适合概率基础薄弱的情况） #

这是最容易理解的思路，不用碰无穷级数：

• 设E为我们要求的期望步数。
• 第一步有两种可能：
  • 1/2的概率直接成功，只用了1步；
  • 1/2的概率失败，这时候相当于回到了初始状态，我们还需要再花E步才能完成目标（加上已经用掉的1步）。
• 据此可以列出方程：
  $$E = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times (1 + E)$$
• 解这个方程：
  展开后得到 $E = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}E$，化简为 $E = 1 + \frac{1}{2}E$，移项后 $\frac{1}{2}E = 1$，最终得到 $E=2$。

方法二：直接计算无穷级数 #

你列出的期望表达式是完全正确的：
$$E(N) = \sum_{x=1}^{\infty}x \times \left(\frac{1}{2}\right)^x$$
这个级数是收敛的，因为它是等差乘等比的无穷级数，公比的绝对值是1/2（小于1），满足收敛条件。我们可以用错位相减法计算它的和：

• 令 $S = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \dots$
• 两边乘以1/2：$\frac{1}{2}S = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \dots$
• 用第一个式子减去第二个式子：
  $$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \dots$$
• 左边是 $\frac{1}{2}S$，右边是首项为1/2、公比为1/2的无穷等比级数，它的和是 $\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$
• 因此 $\frac{1}{2}S = 1$，解得 $S=2$，和递推法的结果一致。

所以不管用哪种方法，都能证明期望步数确实是2，完全符合书里的结论~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HMPtwo