嗨，我看你卡在Hartshorne《Algebraic Geometry》习题I.3.2(a)里的连续性证明环节了，咱们来一步步理清楚这个问题～

首先，先明确在代数几何的Zariski拓扑下，映射连续性的定义：一个映射$f: X \to Y$是连续的，当且仅当$Y$中任意闭集的原像在$X$中也是闭集。而仿射空间$\mathbb{A}^n$里的闭集，本质上都是某个多项式集合的零点集，也就是形如$V(I) = { x \in \mathbb{A}^n \mid f(x)=0, \forall f \in I }$的集合，其中$I$是多项式环$k[x_1,...,x_n]$的理想。

回到你的问题：你疑惑能不能用$\varphi$是多项式给出的态射来证明连续性——答案是完全可以！而且这是Zariski拓扑下多项式映射的基本性质，和$\mathbb{R}^n$里的分析性质（比如可微性）没关系，咱们直接从拓扑定义出发证明：

给定你的映射$\varphi:\mathbb{A}^{1\to\mathbb{A}}2: t\mapsto (t^2,t3)$，它由两个多项式$t^2$和$t3$给出。任取$\mathbb{A}^{2$中的闭集$V(I)$（$I$是$k[x,y]$的理想），那么$\varphi}{-1}(V(I))$就是所有$t \in \mathbb{A}^1$满足：对任意$f(x,y) \in I$，都有$f(t^2, t^3) = 0$的集合。

注意到$f(t^2, t^{3)$其实是$k[t]$中的多项式（多项式的复合仍然是多项式），所以$\varphi}{-1}(V(I))$就是这些复合多项式的零点集，也就是$\mathbb{A}^1$中的闭集。这完全满足Zariski拓扑下连续性的定义，所以$\varphi$是连续的。

另外，你已经证明了$\varphi$是双射，且逆映射连续（双连续的另一半），现在补上这个连续性的证明，就完整论证了$\varphi$是$\mathbb{A}^{1$到曲线$y}2=x^3$的双射双连续态射啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HyperPro