嗨，我来帮你一步步梳理这个问题的证明思路，完全不用导数哦～

首先，我们先明确函数定义：$f(x)=\arccos(x)+\arctan(x)$，定义域是$x\in[-1,1]$。

第一步：利用对称性简化问题 #

先记住这个关键性质：对任意$x\in[-1,1]$，都有$f(x)=\pi-f(-x)$。我们可以简单验证一下：
$$
\begin{align*}
f(-x)&=\arccos(-x)+\arctan(-x)\
&=\pi-\arccos(x)-\arctan(x)\
&=\pi - (\arccos(x)+\arctan(x))\
&=\pi - f(x)
\end{align*}
$$
这个性质说明函数$f(x)$关于点$(0,\frac{\pi}{2})$对称，也就是说，我们只需要先求出$x\in[0,1]$时$f(x)$的取值范围，就能通过这个对称关系直接得到$x\in[-1,0]$时的范围，最后合并起来就是整个定义域的值域啦。

第二步：分析$x\in[0,1]$时的$f(x)$取值 #

我们分端点和区间内部来讨论：

• 当$x=0$时：直接计算得$f(0)=\arccos(0)+\arctan(0)=\frac{\pi}{2}+0=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x=1$时：$f(1)=\arccos(1)+\arctan(1)=0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$。
• 当$x\in(0,1)$时：我们可以把$\arccos(x)$转化为反正切形式来推导。令$\theta=\arccos(x)$，因为$x\in(0,1)$，所以$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，此时$\cos\theta=x$，$\sin\theta=\sqrt{1-x^{2}$，所以$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\sqrt{1-x}2}}{x}$，即$\theta=\arctan\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$。

这样$f(x)$就可以写成两个反正切的和：
$$
f(x)=\arctan\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\arctan(x)
$$
接下来用反正切的加法公式$\arctan a + \arctan b = \arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$（这里因为$ab=\sqrt{1-x^2}\in(0,1)$，满足公式的适用条件），代入后得到：
$$
f(x)=\arctan\left(\frac{\frac{\sqrt{1-x^{2}}{x}+x}{1-\sqrt{1-x}2}}\right)
$$

现在我们来分析这个表达式的取值：当$x$从0逐渐增大到1时，$\frac{\sqrt{1-x^{2}}{x}$会从$+\infty$逐渐减小到0，$x$从0逐渐增大到1，两者的和$\frac{\sqrt{1-x}2}}{x}+x$会从$+\infty$逐渐减小到1；分母$1-\sqrt{1-x^{2}$从0逐渐增大到1。整体来看，分式$\frac{\frac{\sqrt{1-x}2}}{x}+x}{1-\sqrt{1-x^2}}$会从$+\infty$逐渐减小到1，而$\arctan(t)$是单调递增函数，所以$\arctan(t)$会从$\frac{\pi}{2}$逐渐减小到$\frac{\pi}{4}$。

也就是说，当$x\in(0,1)$时，$f(x)\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$。

第三步：利用对称性得到$x\in[-1,0]$时的取值 #

根据$f(x)=\pi-f(-x)$，当$x\in[-1,0)$时，令$x=-s$（其中$s\in(0,1]$），则$f(x)=\pi-f(s)$。

因为$s\in(0,1]$时$f(s)\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$，所以$\pi-f(s)\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right]$。再加上$x=0$时的$\frac{\pi}{2}$，$x=-1$时$f(-1)=\arccos(-1)+\arctan(-1)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$x\in[-1,0]$时$f(x)\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right]$。

第四步：合并值域 #

把$x\in[0,1]$的$\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$和$x\in[-1,0]$的$\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right]$合并起来，就得到$f(x)$在整个定义域$[-1,1]$上的值域是$\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者felipeuni