咱们先明确函数的定义：令$f(0)=1$，当$z \neq 0$时$f(z)=\frac{\sin(z)}{z}$。接下来要证明这个函数的值域是整个复数域$\mathbb{C}$，咱们一步步来推导：

首先，$f(z)$是整函数——因为它是两个整函数的商，而且在原点处的奇点是可去奇点，补充定义$f(0)=1$后就成为了全平面解析的整函数。

根据Picard小定理，非常数的整函数最多只能漏掉一个复数（也就是取不到这个值）。那我们先假设$f(z)$确实漏掉了某个值$w$，接下来推导这个假设不成立：

• 首先，由于$\sin(\overline{z})=\overline{\sin(z)}$，所以$f(\overline{z})=\overline{f(z)}$，函数保持共轭对称性。这意味着如果$f(z)$取不到$w$，那它也取不到$\overline{w}$。但Picard定理说最多只能漏掉一个值，所以$w$必须等于$\overline{w}$，也就是$w$是实数。
• 再看实轴上的限制函数$\frac{\sin(x)}{x}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，这个函数的值域是$[0,1]$：$x=0$时取到1，$x$趋向无穷时振荡趋近于0，中间能取到这区间里的所有值。所以如果$f(z)$漏掉某个实数$w$，那$w$只能是$w<0$或者$w>1$。

接下来分别证明这两种情况都不可能：

情况1：假设存在$w>1$使得$f(z)$取不到$w$ #

此时$f(z)-w$在全平面恒不为0，因此$g(z)=\frac{1}{f(z)-w}$是整函数。我们分析它的增长性：

• 当$z$沿虚轴正方向趋向无穷（即$z=iy$，$y\to+\infty$），$\sin(iy)=\frac{e^y - e^{{-y}}{2i}$，所以$f(iy)=\frac{\sin(iy)}{iy}=\frac{e}y - e^{-y}}{2y} \approx \frac{e^y}{2y}$，趋向于正无穷。因此$f(iy)-w \approx \frac{e^{y}{2y}$，$g(iy)=\frac{2y}{e}y}$趋向于0。
• 当$z$沿虚轴负方向趋向无穷（$y\to-\infty$），$\sin(iy)=\frac{e^{-y}-ey}{2i}$，$f(iy)\approx\frac{e^{-y}}{2iy}$，模长趋向于正无穷，因此$g(iy)$同样趋向于0。
• 当$z$沿实轴趋向无穷时，$f(z)=\frac{\sin z}{z}$振荡趋近于0，所以$f(z)-w$趋向于$-w$，模长为$|w|>1$，因此$g(z)$趋向于$\frac{1}{-w}$，是有界的。

根据Liouville定理，全平面有界的整函数必为常数。但$g(z)$在虚轴趋向无穷时趋向0，在实轴趋向无穷时却有非零极限，矛盾！因此不存在$w>1$被$f(z)$漏掉。

情况2：假设存在$w<0$使得$f(z)$取不到$w$ #

类似地，$f(z)-w$恒不为0，$g(z)=\frac{1}{f(z)-w}$是整函数：

• 当$z$沿虚轴正方向趋向无穷时，$f(iy)\to+\infty$，$f(iy)-w\to+\infty$，$g(iy)\to0$；
• 当$z$沿虚轴负方向趋向无穷时，$f(iy)$的模长趋向于正无穷，$g(iy)\to0$；
• 当$z$沿实轴趋向无穷时，$f(z)$的值在$[0,1]$之间，所以$f(z)-w\geq0 - w>0$（因为$w<0$），$g(z)$的模长有上界，是有界的。

同样根据Liouville定理，$g(z)$应该是常数，但它趋向于0却在实轴上有非零极限，矛盾！因此也不存在$w<0$被$f(z)$漏掉。

综上，Picard定理中“最多漏掉一个值”的情况也不存在，说明$f(z)$能取到所有复数，值域就是$\mathbb{C}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Diffusion