各位大佬好，我目前对相伴素理想有两个基础理解，想请教下和准素分解唯一性定理的关联：

• 对于R-模M来说，它的相伴素理想是环R中的素理想P，满足 $P = \text{ann}_R (x)$（这里x是M中的元素）
• 对于环A中的理想I来说，它的相伴素理想是素理想P，存在元素 $a +I \in A/I$，使得 $P = \text{ann}_A (a+I) = ( I :_A a )$

不过我现在有点懵：根据Atiyah MacDonald《交换代数导引》里的准素分解第一唯一性定理（定理4.5），环A中理想I的相伴素理想，应该恰好是形如 $\sqrt{(I :_A a)}$（刚才没写完，就是这个形式的素理想）的素理想？或者说其实这些相伴素理想就是I的准素分解里各个准素分支的根？我实在搞不清这几个定义和定理结论之间的联系了，有没有大佬能帮忙理一理？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Swaraj Koley