关于利用黎曼Zeta函数生成函数推导特定极限求和恒等式的技术问询

我看到某数学资料里的公式(130)给出了这样一个恒等式：
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^{n-2} \zeta(k) \zeta(n-k) x^{k-1} = x^{-1} - \psi_{0}(-x) - \gamma \tag{1}$$
这里的$\zeta(\cdot)$是黎曼Zeta函数。

资料里还提到，这个恒等式可以从黎曼Zeta函数的下述生成函数推导出来：
$$\sum_{k=2}^{\infty} \zeta(k) x^{k-1} = - \psi_{0}(1-x) - \gamma \tag{2}$$
而且公式(2)也出现在Borwein等人的一篇论文第11页的公式(26)中。

我的疑问是：

如何从公式(2)推导出公式(1)？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max Lonysa Muller