嘿，我来给你用最接地气的方式拆解这两个问题，尽量不用太晦涩的专业术语～

先搞懂：为什么稠密的可数集（比如有理数）没法和直线上的点一一对应？ #

首先得明确两个关键概念：可数集是指能和自然数（1,2,3,...）一一对应的集合，不可数集则是做不到这一点的无穷集。

有理数确实是稠密的——意思是随便找直线上两个不同的点，中间一定能找到有理数，但稠密≠基数大。咱们用康托尔的对角线法就能直观证明实数（直线上的点）是不可数的，而有理数是可数的，所以它们不可能有双射：

• 假设我们能把[0,1]区间里的所有实数都列出来，每个数写成无限小数（为了避免重复，统一用不以9结尾的写法，比如把1写成1.000...而不是0.999...）：

  1: 0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄...
  2: 0.a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄...
  3: 0.a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄...
  ...

• 现在构造一个新的实数：0.b₁b₂b₃b₄...，其中b₁≠a₁₁，b₂≠a₂₂，b₃≠a₃₃，以此类推（比如如果aₙₙ是0就取1，是1-8就取aₙₙ+1，避免取9）。
• 这个新数肯定不在我们刚才的列表里，因为它和列表里的第n个数在第n位上不一样——这就矛盾了，说明我们一开始“能把所有实数列出来”的假设是错的，所以实数是不可数的。

而有理数是可数的（你可以把有理数按分子分母的和从小到大排列，去掉重复的，就能和自然数一一对应），一个可数集和一个不可数集之间不可能有双射，所以有理数没法对应直线上所有点。

再看：直线上的点和自然数幂集为什么有双射？ #

先解释下自然数的幂集：就是所有自然数的子集构成的集合，比如空集、{1}、{2,5}、所有偶数的集合等等，每个子集都是幂集里的元素。

要建立双射，核心是找到两者之间的一一对应关系：

• 先看[0,1]区间里的实数，把它们写成二进制小数（同样避免全1结尾的情况），比如0.1010...（二进制）。每一位的0或1可以对应一个自然数的子集：如果第n位是1，就把自然数n放进这个子集；如果是0，就不放。比如0.101...对应子集{1,3,5,...}（第1、3、5位是1）。
• 反过来，任何一个自然数的子集，也能对应一个二进制小数：比如子集{2,4}，就对应二进制的0.0101000...（第2、4位是1，其他是0）。

这样我们就建立了[0,1]区间实数和自然数幂集的双射。而整个直线上的点，可以通过一个简单的映射（比如用函数f(x) = 1/(1+e^(-x))把整个实数轴映射到(0,1)区间，每个实数对应(0,1)里唯一的点，反过来也一样）和[0,1]的点双射。所以直线上的点和自然数幂集之间自然就存在双射了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max Maxman