嘿，这个问题问得特别到位，刚好戳中了自由群和群表示的核心痛点，我来一步步给你掰扯清楚～

一、先看Hungerford《代数学》里的关系定义 #

群$G$中的方程“$x_1^{\sigma_1} \dots x_n^{\sigma_n}=e$”被称为生成元集合${x_i}$上的一个关系（其中$\sigma_i$取$\pm1$，$e$是$G$的单位元）。

简单说，这个定义就是把“在目标群里等于单位元的生成元乘积”正式叫做“关系”，比如$a^2=e$、$ab=ba$都是典型的关系。

二、先把“关系”的直观感觉给你讲透 #

我拿你能摸得着的例子说：比如二阶循环群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，生成元是$a$，关系是$a^{2=e$。你可以把自由群$F(a)$想象成所有由$a$和$a}{-1}$组成的“字符串”：$e, a, a^{-1}, aa, aa^{-1}, aaa, \dots$。但在$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$里，$aa$等于$e$，$aaa$等于$a$，本质上就是把所有$a$的幂次按模2简化——这其实就是把自由群里所有能写成$a^{2k}$（$k$是整数）的字符串都“捏”成单位元。

再比如正三角形的对称群$D_3$，生成元是旋转$r$（转120度）和翻转$s$，关系是$r^3=e$、$s2=e$、$srs=r^{{-1}$。这些关系就像“游戏规则”：旋转3次就回到原位，翻转2次变回原样，翻转后再旋转再翻转等于反向旋转。有了这些规则，你就能把$D_3$里的任何元素都简化成$r}i s^j$（$i=0,1,2$，$j=0,1$），总共6个元素，和实际的对称操作数量完全一致。

说白了，关系就是自由群里那些“在目标群里等于单位元”的元素——你可以把自由群当成一个没有任何约束的“单词库”，而关系就是给这些单词加的“等价规则”：只要两个单词差了一个关系里的元素（或者它的共轭、乘积之类的），在目标群里就被认为是同一个元素。

三、“合适的”关系到底是什么？ #

你问的“合适的”关系，其实是指能生成自由群到目标群同态核的元素集合。我给你拆成步骤说：

• 首先，给定生成元集合$X$，先构造自由群$F(X)$——这是所有由$X$中元素及其逆元组成的既约字的集合，运算就是字符串拼接后化简（比如$aa^{-1}$会被化简成$e$）。
• 然后，假设我们有群$G$，$X$是$G$的生成元，那么存在一个自然的同态$\phi: F(X)\to G$：把自由群里的每个单词映射到$G$中对应的元素乘积（比如自由群里的$aab^{-1}$，就映射到$G$里的$a\cdot a\cdot b^{-1}$）。
• 这个同态的核$\ker\phi$是$F(X)$的正规子群，里面的所有元素都是自由群里那些“在$G$中对应单位元”的单词。
• 而“合适的”关系集合$R$，就是一组能生成这个核$\ker\phi$的元素——意思是$\ker\phi$是包含$R$的最小正规子群（这个正规子群叫$R$的正规闭包，记为$\langle\langle R\rangle\rangle$）。

至于你问的“指定生成元和关系是否能唯一确定群”——答案是：如果两个群的生成元和关系对应的正规闭包相同，那它们是同构的。但反过来，同一个群可能有不同的生成元和关系，比如整数加法群$\mathbb{Z}$可以表示为$\langle a\mid \emptyset\rangle$（没有关系的自由群），也可以表示为$\langle a,b\mid ab=ba\rangle$，这两个是同构的。

四、“每个群都是自由群的商群”——这说法其实是对的，我给你补全并联系到核 #

你说的“每个群都是其自由群的商群”，准确表述是：对任意群$G$，存在自由群$F$和满同态$\phi:F\to G$，使得$G\cong F/\ker\phi$。这其实就是群的第一同构定理的直接应用。

怎么和泛性质联系起来？自由群的泛性质是说：对任意集合$X$和任意群$G$，以及任意映射$f:X\to G$，存在唯一的群同态$\phi:F(X)\to G$，使得$\phi$在$X$上的限制就是$f$。说白了，自由群是“最自由”的群——你随便给集合$X$到群$G$的映射，都能唯一扩展成自由群到$G$的同态。

那回到刚才的满同态：取$X$是$G$的任意生成元集合，定义$f:X\to G$为恒等映射（把$X$中的元素映射到$G$中自身），然后根据泛性质，存在唯一的满同态$\phi:F(X)\to G$（因为$X$生成$G$，所以$\phi$是满的）。根据第一同构定理，$G\cong F(X)/\ker\phi$，而$\ker\phi$就是那些“关系”生成的正规子群！

举个例子，$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，$X={a}$，$F(X)$是自由群$\mathbb{Z}$（因为一个生成元的自由群就是整数加法群），$\phi:F(X)\to G$是映射$k\mapsto k\mod 2$，核$\ker\phi$是$2\mathbb{Z}$，也就是由$a^2$生成的正规子群（因为$F(X)$是阿贝尔群，正规子群就是子群），所以$G\cong F(X)/\langle\langle a^{2\rangle\rangle$，正好对应关系$a}2=e$。

五、最后给你串一遍完整逻辑，帮你打通任督二脉 #

1. 先有集合$X$，构造自由群$F(X)$——无约束的“单词群”；
2. 想要得到目标群$G$，就给$F(X)$加“约束”（关系），这些约束就是自由群里要被捏成单位元的元素；
3. 这些约束生成的正规子群$\langle\langle R\rangle\rangle$就是泛性质得到的同态$\phi:F(X)\to G$的核；
4. 由第一同构定理，$G\cong F(X)/\langle\langle R\rangle\rangle$，这就是群的表示：$G=\langle X\mid R\rangle$。

这样是不是就把关系、自由群、同态核、泛性质都串起来了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Il Prete Rosso