嘿，这个问题我熟！你一开始想通过找$99^{n$的位数规律来入手，这个思路很合理，但其实我们完全不用算出$99}{99}$的具体数值，甚至不用管它有多少位，靠数论和二项式展开的小技巧就能直接搞定，过程比你想的简单多了~

先回到问题里的$f(n)$定义：对于非负整数$n$，若十进制表示为$n=\overline{\ldots d_3d_2d_1d_0}$，则$f(n)=|d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \ldots|$，也就是各位数字从右往左交替加减后取绝对值。

我们先把$99^{99}$用二项式定理变形拆解：
$$99^{99} = (100 - 1)^{99}$$
根据二项式定理展开后可得：
$$(100 - 1)^{99} = \sum_{i=0}^{99} \binom{99}{i} \cdot 100^{99-i} \cdot (-1)^i$$

现在关键来了，我们分析每一项的交替和：

• 对于$100^{m$（$m$为正整数），比如$100}1=100$、$100^2=10000$，它们的十进制表示是1后面跟偶数个0，所以交替和为1（比如$100$的交替和是$0-0+1=1$，$10000$的交替和是$0-0+0-0+1=1$）——因为只有最高位的1在偶数位（从0开始计数为第$2m$位），在交替和中是加1，其余位都是0不影响结果。
• $\binom{99}{i} \cdot 100^{99-i}$的交替和就是$\binom{99}{i}$本身，比如$2×100=200$的交替和是$0-0+2=2$，和系数一致，因为乘以系数只是把最高位的1替换为这个系数，其余位仍为0，交替和不受影响。

那整个$99^{{99}$的交替和$S$，就是所有项的交替和乘以$(-1)}i$后的总和：
$$S = \sum_{i=0}^{99} \binom{99}{i} \cdot (-1)^i$$
这式子正好是二项式定理中的$(1-1)^{99}$，结果直接为0！

所以$f(99^{99}) = |S| = |0| = 0$。接下来的迭代就毫无悬念了：

• $f(f(99^{99})) = f(0)$，0的十进制表示就是0，交替和为0，因此$f(0)=0$；
• 再迭代一次，$f(f(f(99^{99}))) = f(0) = 0$。

顺着你的初始思路补一句：如果想算$99^{99}$的位数，用对数公式即可——正整数$n$的位数为$\lfloor \log_{10}n \rfloor + 1$，计算得$\log_{10}99^{{99}=99×\log_{10}99≈99×1.995679≈197.572$，因此位数为$\lfloor197.572\rfloor+1=198$位，确实符合你发现的“$99}k$有$2k$位”的规律，但这个信息在本题中其实用不上，我们已经直接得出了交替和为0的结论。

最终结论就是，$f(f(f(99^{99})))$的值是0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ayumi