我最近在Reddit上刷到这个积分，据说是个输入错误把原本简单的初等积分变成了这么个棘手的难题：
$$\int\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x+1}\sqrt{x+2})}dx$$

我一开始用普通的积分计算器试了试，根本找不到解析解；后来用Mathematica跑了一遍，得到了这个看起来相当复杂的结果：
$$\frac{2}{5} \left(\sqrt{x} \sqrt{x+2} (x+1)^{3/2}-\frac{2 \sqrt{\frac{x+1}{x+2}} (x+2)}{\sqrt{x}}-\frac{2 i \sqrt{\frac{x+1}{x+2}} \sqrt{\frac{x+2}{x}} E\left[\left.i \sinh ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right|2\right]}{\sqrt{\frac{1}{x}+1}}\right)$$

这个结果真的惊到我了——居然包含了虚数单位、椭圆积分还有反双曲正弦函数，完全和我一开始的预想不一样。我现在特别想搞明白，怎么才能手动推导出这个积分的结果？为什么这个看起来是实变量的积分会引入虚数，还会涉及到椭圆积分这类特殊函数呢？有没有大佬能给我讲讲推导思路或者背后的原理？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kernel Sanders