可分度量空间基数不超过连续统基数的证明翻译与验证问询

嘿，我整理了一段关于可分度量空间基数的证明内容，想和大家一起捋捋逻辑是否通顺：

每个可分度量空间 $E$ 的基数都小于等于连续统的基数。

因为 $E$ 是豪斯多夫空间，单点集 ${x}$ 是闭集，所以 $E - {x}$ 是 $E$ 中的开集。又因为 $E$ 是第二可数的（设 $(B_n){n \in \mathbb{N}}$ 是它的可数基），那么存在自然数集的子集 $J_x \subset \mathbb{N}$，使得 $E - {x} = \bigcup{j \in J_x}B_j$。

考虑这样一个映射：
$$
\begin{align*}
\varphi:\ &E \mapsto \mathcal{P}(\mathbb{N})\
&x \longmapsto J_x
\end{align*}
$$

如果 $\varphi(x)=\varphi(y)$，那么 $J_x=J_y$，由此可以推出 ${x}={y}$——也就是说 $\varphi$ 是单射。而幂集 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 的基数等于连续统的基数，所以 $E$ 的基数自然不超过连续统的基数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P