嘿，我完全懂你这种困扰——分母带阶乘的求和往往有现成的展开式（比如e的泰勒展开）或者望远镜级数可以用，但分子带阶乘的时候确实容易卡壳。不过别担心，这个问题其实还是可以用望远镜级数的思路拆解，我们一步步来解决：

第一步：拆分求和通项，构造望远镜形式 #

我们的目标是把通项 (i^2(i+1)!) 拆成几个阶乘项的组合，让它们在求和时能相互抵消。通过代数变形，我们可以把 (i^2) 转化为和阶乘递推相关的形式：

先尝试将 (i^2(i+1)!) 表示为高阶阶乘的线性组合，最终可以得到：
[i^2(i+1)! = (i+3)! - 5(i+2)! + 4(i+1)!]
（验证一下：把右边展开后，确实能还原成左边的表达式，你可以自己代入几个小的i值试试，比如i=0时，右边=3!-5×2!+4×1!=6-10+4=0，左边=0²×1!=0，成立；i=1时，右边=4!-5×3!+4×2!=24-30+8=2，左边=1²×2!=2，也成立）

第二步：求和并抵消中间项 #

现在把求和式代入拆分后的通项：
[S = \sum_{i=0}^{2023} \left[(i+3)! -5(i+2)! +4(i+1)!\right]]

把这个求和拆成三个独立的求和，然后重新索引或者直接展开前几项和后几项，你会发现中间的阶乘项都会相互抵消，最终只剩下首尾的少数项：
[S = 2026! -4×2025! +2]
（具体推导可以通过展开求和项，观察3!、4!…2024!这些中间项的系数都是0，最终只剩下最开始的常数项和最后的高阶阶乘项）

第三步：计算S mod 2023 #

首先注意到2023=7×17²，我们可以用中国剩余定理，分别计算S mod7和S mod17²，再合并结果：

1. 计算S mod7：
   因为7是质数，且2025≥7，所以2025!包含7这个因子，即2025!≡0 mod7，同理2026! =2026×2025!≡0 mod7。代入S的表达式：
   [S ≡0 -4×0 +2=2 \mod7]

2. 计算S mod17²=289：
   17是质数，2025远大于2×17=34，所以2025!中包含17²这个因子（2025!里17的指数远大于2），因此2025!≡0 mod289，2026!≡0 mod289。代入得：
   [S≡0 -4×0 +2=2 \mod289]

3. 合并结果：
   因为7和289互质，根据中国剩余定理，满足S≡2 mod7且S≡2 mod289的数，必然满足S≡2 mod(7×289)=2 mod2023。

所以最终S除以2023的余数是2。

总结一下分子带阶乘的求和技巧 #

遇到分子带阶乘的求和，核心思路还是构造望远镜级数：通过代数变形把通项拆成相邻阶乘项的差（或线性组合），让求和时中间项抵消，只剩下首尾项，这样就能大幅简化计算。如果涉及模运算，再结合质数阶乘的性质（n≥质数p时，n!≡0 modp；n≥2p时，n!≡0 modp²等）来快速计算模值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mahit Chopra