设a,b,c为正实数，求证：
$$\frac{1}{(a+b)^2} + \frac{1}{(a+c)^{2}+\frac{16}{(b+c)}2} \ge \frac{6}{ab + bc + ca}$$

我发现这个不等式的等号成立条件是$b=c$且$a$趋近于0（因为a是正实数，严格来说是极限状态下取到等号）。之前我尝试用恒等式$(a+b+c)(ab+bc+ac) = (a+b)(b+c)(a+c) + abc$，再结合$abc \ge 0$来转化原不等式，虽然得到的中间不等式是成立的，但推到这一步之后就没了头绪，实在不知道接下来该怎么推进了，有没有大佬能给点思路或者具体的解法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HarryD