嘿，别觉得这是傻问题——数学里符号的歧义经常把人绕晕，完全不是你的问题！我来一步步给你理清楚：

一、三个表达式的等价性 #

首先明确：$(\sqrt[3]{x - 3})^{2}$、$\sqrt[3]{(x - 3)^2}$ 和 $(x - 3)^{\tfrac{2}{3}}$ 在实数范围内完全等价

原因很简单：立方根和平方根不一样，它的定义域是全体实数——任何实数都有唯一的实立方根。不管$x-3$是正、负还是0：

• 先开立方再平方：负数开立方得到负数，平方后变正；正数开立方还是正，平方后正；0的话结果还是0
• 先平方再开立方：任何实数平方后都是非负，开立方后还是非负，和上面结果一致
• 分数指数$(x-3)^{{\frac{2}{3}}$的定义就是$((x-3)}{\frac{1}{3}})^2$，本质和第一个表达式完全相同

你代入-8验证的例子也能佐证：$(\sqrt[3]{-8})^2=(-2)2=4$，$\sqrt[3]{(-8)^{2}=\sqrt[3]{64}=4$，$(-8)}{\frac{2}{3}}=4$，三个结果完全一致。

二、定义域的工具分歧问题 #

你的直觉是对的，这个函数的定义域是全体实数，没有$x\geq3$的限制——Geogebra的判断是正确的，WolframAlpha和Photomath的结论反而错了。

为什么会有这个矛盾？主要是部分工具对分数指数的默认解析规则有问题：有些工具会把$a^{\frac{m}{n}}$（m、n为整数，n正）默认限制为$a\geq0$，但这个规则只适用于n为偶数的情况（比如平方根对应的1/2指数）。而这里的指数是2/3，分母3是奇数，立方根的定义域是全体实数，所以底数$x-3$可以是任意实数，对应的x自然也是全体实数。

你可以自己代入x=0（此时x-3=-3）验证：三个表达式都能得到合法的实数值，完全没有问题。那些工具可能误用了平方根的定义域规则到立方根上，才给出了错误的限制。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Picard