我现在碰到了一个问题：给定一个4×4的齐次线性方程组，形式为 $Ax = 0, x \geq 0$，我想弄明白在什么条件下这个方程组存在非平凡解。

我知道对于普通的齐次方程组$Ax=0$，只要矩阵$A$是秩亏的（rank-deficient）就会有非平凡解，但加上$x \geq 0$的非负约束后，这个条件就不够用了。举个例子，比如下面这个矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
\end{pmatrix}
$$
它的秩是1，明显是秩亏的，但所有解都必须满足$x_1+x_2+x_3+x_4 = 0$，再结合$x \geq 0$的约束，最后只能得到平凡解$x=0$。

另外我还试着用Farkas引理来分析这个问题，但因为$x=0$始终是这个方程组的解，所以这个方法好像没起到作用……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者samabu