嘿，你已经算出导数了，这步做得很棒！接下来的关键其实很清晰：分母$(\ln(1+bx))^2$在$x>0$的时候肯定是正的，所以我们只需要判断分子的正负就行。

先把分子的不等式写出来，我们要证明：
$$\frac{a}{1+ax}\ln(1+bx) - \frac{b}{1+bx}\ln(1+ax) > 0$$

把这个式子两边同时乘以$(1+ax)(1+bx)$（都是正数，不等号方向不变），整理后等价于证明：
$$a(1+bx)\ln(1+bx) > b(1+ax)\ln(1+ax)$$

这里可以换个变量简化问题：令$u=ax$，$v=bx$，因为$a<b$且$x>0$，所以$u<v$。代入上面的不等式，两边同时除以$ab$，就得到：
$$\frac{(1+v)\ln(1+v)}{v} > \frac{(1+u)\ln(1+u)}{u}$$

现在重点来了——构造一个辅助函数$k(t)=\frac{(1+t)\ln(1+t)}{t}$，其中$t>0$。我们只需要证明$k(t)$在$t>0$时是单调递增的函数，这样因为$u<v$，自然就有$k(u)<k(v)$，从而原不等式成立，导数的分子为正，$f'(x)>0$，$f(x)$也就递增了。

那怎么证明$k(t)$递增呢？求它的导数看看：
$$k'(t)=\frac{[\ln(1+t)+1]\cdot t - (1+t)\ln(1+t)}{t^2}$$
化简分子部分：
$$t\ln(1+t) + t - (1+t)\ln(1+t) = t - \ln(1+t)$$

而我们知道，当$t>0$时，$t - \ln(1+t) > 0$（可以构造函数$m(t)=t-\ln(1+t)$，求导得$m'(t)=\frac{t}{1+t}>0$，且$m(0)=0$，所以$m(t)$在$t>0$时恒正）。所以$k'(t)=\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}>0$，说明$k(t)$确实是递增的。

倒推回去，所有步骤都是可逆的，所以原函数的导数在$(0,+\infty)$上恒正，$f(x)$自然就是递增的啦。

另外你之前尝试的$\frac{f(x)}{f(y)}<1$（$x<y$）的思路，其实也可以通过这个辅助函数来关联，但导数的路径更直接，毕竟你已经走到求导这一步了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bk K