嘿，我来帮你搞定这个极限问题！你已经找对了分母的处理方向，那咱们一步步拆解，把分子和分母都捋明白～

首先明确我们要计算的极限是：
$$\lim_{x \to 0} \frac{1-(\cos \sqrt{x})(\cos \sqrt{2x})\cdots(\cos \sqrt{n x})}{\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin n x}$$

第一步：拆解分子的核心技巧 #

当$x \to 0$时，对于每个$k=1,2,\dots,n$，$\sqrt{kx}$也会趋近于0，这时候我们可以用余弦函数的等价无穷小替换：
当$t \to 0$时，$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，把$t=\sqrt{kx}$代入，就能得到：
$$\cos \sqrt{kx} = 1 - \frac{kx}{2} + o(x)$$

接下来要处理$1 - \prod_{k=1}^n \cos \sqrt{kx}$这个部分。因为每个$\cos \sqrt{kx}$都趋近于1，我们可以利用无穷小乘积的近似规则：对于多个趋近于0的小量$a_k$，有$\prod_{k=1}^n (1 - a_k) = 1 - \sum_{k=1}^n a_k + o\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)$。这里的$a_k = \frac{kx}{2} + o(x)$都是$x$阶的无穷小，乘积里的交叉项都是$x^2$及更高阶的无穷小，在$x \to 0$时可以直接忽略。

所以我们可以把乘积近似为：
$$\prod_{k=1}^n \cos \sqrt{kx} \approx 1 - \sum_{k=1}^n \frac{kx}{2} + o(x)$$

代入分子后，就能得到：
$$1 - \prod_{k=1}^n \cos \sqrt{kx} \approx \sum_{k=1}^n \frac{kx}{2} + o(x)$$

再利用等差数列求和公式$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$，分子可以进一步简化为：
$$1 - \prod_{k=1}^n \cos \sqrt{kx} \sim \frac{n(n+1)}{4}x \quad (x \to 0)$$

第二步：简化分母的两种方式 #

你提到的那个求和公式完全能用，不过其实还有更直接的方法：
当$x \to 0$时，每个$\sin kx$都可以用等价无穷小$kx$替换，所以分母的和直接变成：
$$\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx \approx x + 2x + \dots + nx = \frac{n(n+1)}{2}x + o(x)$$

要是用你给出的公式验证也没问题：
$$\sin x+\sin 2 x+\cdots+\sin n x=\frac{\sin \frac{(n+1) x}{2} \sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$$
当$x \to 0$时，$\sin t \sim t$，代入后计算：
$$\frac{\frac{(n+1)x}{2} \cdot \frac{nx}{2}}{\frac{x}{2}} = \frac{n(n+1)x}{2}$$
和直接替换的结果完全一致。

第三步：计算最终极限 #

把分子和分母的等价无穷小代入原式，就能约掉公共项：
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \prod_{k=1}^n \cos \sqrt{kx}}{\sum_{k=1}^n \sin kx} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{n(n+1)}{4}x}{\frac{n(n+1)}{2}x} = \frac{1}{2}$$

你可以用小数值验证一下，比如取$n=1$，极限就是$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos\sqrt{x}}{\sin x} = \frac{1}{2}$；取$n=2$，极限是$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos\sqrt{x}\cos\sqrt{2x}}{\sin x+\sin2x} = \frac{1}{2}$，都符合结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shawn D