嘿，咱们来唠唠射影二次曲线里极点和极线的事儿——很多人一开始学的时候，都会困惑：代数上的抽象定义，和初等几何里讲的直观概念到底咋对应上？今天就来掰扯清楚。

首先抛出个经典疑问：在有限维射影二次曲线的背景下，用代数方法定义一个点的极线其实挺容易的，但这个抽象的代数定义，和咱们在初等几何里学的调和分割，到底有啥内在联系呢？

先拆解代数上的严格定义 #

先给你铺点基础概念，一步步来：

• 设$q$是有限维线性空间$E$上的二次型，对应的极形式为$f$；
• 定义映射$\widehat{f}: x\mapsto f(x,.)$，简单说就是把每个向量$x$，对应成一个线性函数——这个函数作用在任意向量上，结果就是$f(x, \cdot)$；
• 还有射影空间的核心映射$\pi: E-{0}\to P(E)$，它把$E$里的非零向量$\xi$，映射到它生成的实直线$\mathbb R \xi$，这就是射影空间里的一个点啦。

现在假设射影空间里有个点$M=\pi(x)$（这里$x$是$E$里的非零向量），那点$M$的极线$m$，就是$\widehat{f}(x)$的核空间，经过射影映射$\pi$之后得到的射影子空间，用公式可以明确记为$\boxed{m=\pi(\text{Ker},\widehat{f}(x))}$。

（图：点P的极线p的几何示意图）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stéphane Jaouen