我现在需要解决这么一个问题：求由曲线 $y=\sin x + \frac{\pi}{3}$、$y=\cos x + \frac{\pi}{3}$，以及直线 $x = \frac{\pi}{4}$、$x=\frac{9\pi}{4}$ 围成的区域绕x轴旋转形成的旋转体体积。

我自己先试着列出了计算体积的积分表达式：
$$
\pi \int _{\pi/4}^{5\pi/4}\left(\sin x+\frac{\pi }{3}\right)^2-\left(\cos x+\frac{\pi }{3}\right)^2,\mathrm dx\ +\ \pi \ \int _{5\pi/4}^{9\pi/4}\left(\cos x+\frac{\pi \ }{3}\right)^2-\left(\sin x+\frac{\pi \ }{3}\right)^2,\mathrm dx\
$$

不过我突然想到，有没有办法不用先计算积分，就能证明这两个积分的结果是相等的？如果可以的话，是不是就能直接把第一个积分乘以2来简化整个计算过程了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pavel Tovarish