我来一步步拆解这个等式的证明思路，其实可以借助一个已被验证的欧拉函数求和结论来递推推导：

首先，我们先明确一个已知的核心结论：

求证：$\sum_{k\leq n} \left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor \varphi(k) =\frac{n(n+1)}{2}$

我们可以通过定义序列的递推关系来推导目标等式：

令 $u_n = \sum_{k\leq n} \left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor \varphi(k)$，根据上述已知结论，$u_n = \frac{n(n+1)}{2}$。

接下来计算序列相邻两项的差值 $u_n - u_{n-1}$：
$$
u_n - u_{n-1} = \sum_{k=1}^n \left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor \varphi(k) - \sum_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{n-1}{k}\right\rfloor \varphi(k)
$$
注意当 $k=n$ 时，$\left\lfloor \frac{n-1}{n}\right\rfloor = 0$，因此可以把第二个求和式的上界扩展到 $n$，这样两个求和式的范围统一后，就能合并为：
$$
u_n - u_{n-1} = \sum_{k=1}^n \left( \left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{n-1}{k}\right\rfloor \right)\varphi(k)
$$

现在直接利用已知的 $u_n$ 和 $u_{n-1}$ 的表达式计算差值：
$$
u_n - u_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n[(n+1)-(n-1)]}{2} = \frac{n \times 2}{2} = n
$$

而这个差值正好就是我们要证明的等式左边的求和式，因此直接得到：
$$
\sum_{k=1}^n \left( \left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{n-1}{k}\right\rfloor \right)\varphi(k) = n
$$

我们也可以用递推累加的方式反向验证：
如果先认可 $u_n - u_{n-1} = n$，累加从 $j=1$ 到 $n-1$ 的相邻项差：
$$
u_n - u_1 = \sum_{j=1}^{n-1} (u_{j+1} - u_j) = \sum_{j=1}^{n-1} (j+1)
$$
计算右边的求和结果：
$$
\sum_{j=1}^{n-1} (j+1) = \sum_{m=2}^n m = \frac{n(n+1)}{2} - 1
$$
又因为 $u_1 = \left\lfloor \frac{1}{1}\right\rfloor \varphi(1) = 1 \times 1 = 1$，代入后可得：
$$
u_n = 1 + \left( \frac{n(n+1)}{2} - 1 \right) = \frac{n(n+1)}{2}
$$
这也反过来验证了已知结论的正确性，同时再次确认了目标等式成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者calculatormathematical