嘿，这个问题我之前在新生数学宾果活动里刚好遇到过！要求构造一个条件分布Y|X服从正态分布，但Y本身不是正态分布的例子，我来分享下我的思路和几个验证过的实例吧～

首先我们可以用随机变量的全概率密度公式来分析，这是判断Y分布特征的核心依据：
$$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y|X}(y|x) f_X(x) dx $$
这里的各个符号分别代表：

• $f_Y(y)$：Y的无条件概率密度
• $f_{Y|X}(y|x)$：给定X取值为x时，Y的条件概率密度
• $f_X(x)$：X的概率密度

其实满足要求的例子有无数个，我先给你讲一个连续型变量的实例，再补一个更直观的离散型例子。

连续型实例：依赖指数分布均值的条件正态分布 #

我设定的分布规则是：

• 条件分布：$Y|X \sim N(X, \sigma^{2)$（Y的条件均值等于X的取值，方差取固定值$\sigma}2$）
• X的分布：$X \sim \text{Exponential}(\lambda)$（指数分布，仅取非负值，参数为$\lambda$）

先写出各自的密度函数：
给定X=x时，Y的条件密度是标准正态密度：
$$ f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - x)^2}{2\sigma2}\right) $$
X的指数分布密度为：
$$ f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0 $$

接下来代入全概率公式计算Y的无条件密度：
$$ f_Y(y) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - x)^2}{2\sigma2}\right) \lambda e^{-\lambda x} dx $$

我们可以整理积分里的指数项，通过配方法化简后会发现，这个积分结果是一个带偏度的混合正态分布——因为指数分布只给x>0的部分赋权重，相当于给不同均值的正态分布加了偏向正值的权重，最终Y的密度曲线是不对称的，而正态分布的密度必须是对称的单峰曲线，所以Y绝对不是正态分布。

离散型直观实例：两点分布的正态混合 #

还有个更简单好懂的例子，不用算积分就能直接看明白：
让X服从两点分布：$P(X=0)=0.5$，$P(X=1)=0.5$，然后设定：

• 当X=0时，$Y|X=0 \sim N(0,1)$
• 当X=1时，$Y|X=1 \sim N(10,1)$

这时候Y的无条件密度就是两个正态分布的等权重混合：
$$ f_Y(y) = 0.5 \cdot \phi(y) + 0.5 \cdot \phi(y-10) $$
这里$\phi(\cdot)$是标准正态分布的密度函数。

这个密度画出来是两个相隔很远的单峰曲线，而正态分布的密度是单一的对称单峰曲线，一眼就能看出Y的分布完全不是正态分布，但它的每个条件分布都是标准的正态分布，完美符合题目的要求！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者konofoso