我的问题 #

设X是内积空间，Y是它的闭子空间，请给出一个Y真包含于$Y^{\perp\perp}$的例子。

我完全不知道该怎么构造这个例子，之前找过相关的内容，但发现那些例子里的子空间都不是闭的，不符合题目的要求。

嘿，这个问题的关键在于得找不完备的内积空间，因为如果X是希尔伯特空间（完备的内积空间）的话，闭子空间Y一定满足$Y=Y^{\perp\perp}$，所以必须选不完备的内积空间才行。我给你举个经典的构造：

• 第一步，定义内积空间X：取X为所有只有有限个非零项的实数列构成的集合，也就是$X = {(x_1,x_2,\dots,x_n,0,0,\dots) \mid n\in\mathbb{N}, x_i\in\mathbb{R}}$，内积用标准的欧几里得内积：$\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^\infty x_i y_i$（因为只有有限项非零，这个和肯定是有限的）。
• 第二步，构造闭子空间Y：定义一个连续线性泛函$\phi: X\to\mathbb{R}$，$\phi(x) = \sum_{i=1}^\infty \frac{x_i}{i}$。这个泛函是连续的，因为根据柯西不等式，$|\phi(x)| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^\infty x_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}} = |x| \cdot \frac{\pi}{\sqrt{6}}$，满足连续的条件。然后取Y为这个泛函的核，也就是$Y = {x\in X \mid \phi(x)=0}$。连续线性泛函的核一定是闭子空间，所以Y在X中是闭的。
• 第三步，验证Y真包含于$Y^{\perp\perp}$：
  • 先算$Y^\perp$：$Y\perp$是X中所有满足$\langle y,x\rangle=0$对所有$x\in Y$的元素y。假设y∈Y⊥，那么对于任意x∈Y=kerφ，都有$\langle y,x\rangle=0$。根据泛函分析的结论，这意味着y必须是φ的“代表元”，也就是存在常数c使得$\langle y,x\rangle = c\phi(x)$对所有x∈X。展开的话就是$\sum_{i=1}^\infty y_i x_i = c\sum_{i=1}^\infty \frac{x_i}{i}$对所有x∈X，这要求$y_i = \frac{c}{i}$对每个i。但y∈X（只有有限个非零项），所以只有当c=0时，$y_i=\frac{c}{i}$才属于X（否则有无穷多个非零项），因此$Y^\perp={0}$。
  • 再算$Y^{\perp\perp}$：它是X中所有满足$\langle x,y\rangle=0$对所有$y\in Y^{\perp$的元素x。因为$Y}\perp={0}$，任何x∈X和0的内积都是0，所以$Y^{\perp\perp}=X$。
  • 显然Y是X的真子空间（比如取x=(1,0,0,\dots)，φ(x)=1≠0，所以x∉Y），因此Y真包含于$Y^{\perp\perp}$，完全符合题目的要求！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Airbus A319