没问题，我刚好能给你一个实数域上的经典例子，完美贴合你的需求！

首先回顾Lang的定义：实数域$\mathbb{R}$上的仿射簇是$\mathbb{R}^{n$中**不可约的Zariski闭子集**——也就是不能写成两个非空真闭子集的并的闭集。我们要找的就是两个这样的簇，它们的积作为$\mathbb{R}}m$中的闭子集是可约的。

具体实例 #

• 第一个簇$X$：$\mathbb{R}^2$中的单位圆，由方程 x² + y² = 1 定义。这个集合在$\mathbb{R}$的Zariski拓扑下是不可约的，因为定义它的多项式$x² + y² - 1$在$\mathbb{R}[x,y]$中不可约（无法分解为两个次数≥1的实系数多项式乘积），所以$X$是一个$\mathbb{R}$-簇。
• 第二个簇$Y$：和$X$完全一致，也是$\mathbb{R}^2$中的单位圆，由方程 u² + v² = 1 定义，显然也是$\mathbb{R}$-簇。

验证积的可约性 #

它们的积$X \times Y$是$\mathbb{R}^4$中的闭子集，由联立方程 x² + y² = 1 和 u² + v² = 1 定义。我们可以把$X \times Y$分解为两个非空真闭子集的并：

1. 集合$A$：满足 xu + yv = 1 且 xv - yu = 0 的点$(x,y,u,v)$的集合
2. 集合$B$：满足 xu + yv = -1 且 xv - yu = 0 的点$(x,y,u,v)$的集合

为什么$X \times Y = A \cup B$？

对$X \times Y$中的任意一点$(x,y,u,v)$，展开计算：
$$(xu + yv)^2 + (xv - yu)^2 = x²u² + 2xyuv + y²v² + x²v² - 2xyuv + y²u² = (x²+y²)(u²+v²) = 1 \times 1 = 1$$
由此可知，$(xu + yv)^2 = 1 - (xv - yu)^2 \leq 1$。如果xv - yu = 0，那么xu + yv = ±1；反过来，如果xu + yv = ±1，结合上面的等式可以推出xv - yu = 0。因此$X \times Y$中的点必然属于$A$或$B$。

另外，$A$和$B$都是非空的（比如$(1,0,1,0) \in A$，$(1,0,-1,0) \in B$），且都是$X \times Y$的真子集，同时它们都是由多项式方程定义的Zariski闭集。

这就说明$X \times Y$是可约的，不符合Lang定义的“簇”的要求——完美对应你提到的Lang在第二章中的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Antongiulio Fornasiero