嘿，这个类比思路挺有意思的！先顺着你的线性独立例子捋一遍：当我们说线性自同构能保持线性独立性时，核心是这类映射是双射且保持线性运算的，所以它不会把线性无关的向量“捏”成相关的，反过来也一样。

那回到代数独立性的场景，我们要找的映射，得满足能保持域的代数结构，同时得是双射——说白了，就是域$K$的$L$-自同构！不过先别急，先看你的思路里提到的超越基：

你说考虑超越基$(b_i)_{i \in I}$，然后构造变换$B: K \to K$，其实这个方向是完全对的。具体来说，如果你能定义一个在超越基上的双射变换（比如把超越基里的元素做一个置换，或者更一般地，每个$b_i$映射到某个元素，使得这些像仍然构成一组超越基），然后把这个变换延拓成$K$的$L$-自同构，那这个自同构就会像线性自同构保持线性独立性一样，稳稳保持代数独立性！

给你拆解一下背后的逻辑：

• 首先，$L$-自同构是保持域运算的双射，它会把$L$中的元素固定住（这一点刚好类比线性自同构保持向量空间的标量域）。
• 对于一个子集$S \subseteq K$，$S$在$L$上代数独立的充要条件是：不存在非零多项式$f \in L[x_1,...,x_n]$（对应$S$的任意有限子集）使得$f(s_1,...,s_n)=0$。而$L$-自同构$B$会把这个多项式方程“平移”成$f(B(s_1),...,B(s_n))=B(f(s_1,...,s_n))=B(0)=0$，反过来也成立——所以$S$代数独立当且仅当$B(S)$代数独立。

不过要提个醒：你不用局限于先从超越基构造，只要是$K$的$L$-自同构，不管怎么来的，都能保持代数独立性。当然，从超越基出发构造是最直观的方式：毕竟超越基相当于代数扩张里的“线性基”，只要在超越基上的变换是双射且保持超越性，延拓后的自同构就完全符合要求。

另外，如果你的变换$B$不是$L$-自同构，比如只是个单射但不是满射，或者不保持域运算，那大概率没法保持代数独立性——就像线性映射如果不是自同构（比如奇异线性变换），就可能把线性无关组变成相关组一样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bubaya