嘿，我最近在做一个交换环相关的代数题，卡壳好一会儿了，想请大家支个招！

题目内容如下：

设$R$是有单位元的交换环，$\mathcal P={\mathfrak p_1, \mathfrak p_2, \ldots, \mathfrak p_m}$和$\mathcal Q={\mathfrak q_1, \mathfrak q_2, \ldots, \mathfrak q_n}$是$R$的两个素理想族，满足$\bigcap\limits_{i=1}^m \mathfrak p_i=\bigcap\limits_{i=1}^n \mathfrak q_i$。假设两个族中都不存在非平凡的包含关系（也就是说，族里任意两个素理想之间都没有真包含的情况），证明这两个族是完全相同的。

我先说说自己对题中关键条件的理解：

• 关于“两个族中都没有非平凡的包含关系”：我觉得这意味着，对每个$\mathfrak p_i$，都能找到一个元素$x_i\in\mathfrak p_i$，使得$x_i$不属于这个族里的任何其他素理想$\mathfrak p_j$（$j≠i$）；同理，对$\mathcal Q$里的每个$\mathfrak q_k$，也存在这样的元素$y_k\in\mathfrak q_k$，它不在$\mathcal Q$里的其他素理想$\mathfrak q_l$（$l≠k$）中。

不过目前我还没搞清楚怎么把这个理解和“两个族的交相等”这个条件结合起来，推导出两个族完全重合。有没有大佬能给点思路或者提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nothing special