局部紧局部连通空间仿紧性与连通分支σ紧性等价性的证明问询

嘿，我最近在琢磨拓扑学里的一个等价性命题，想跟大家求证一下：

给定一个局部紧且局部连通的拓扑空间$X$，那么$X$是仿紧空间当且仅当它的每个连通分支都是$\sigma$-紧的。

我本来以为反向推导（也就是从“每个连通分支都是$\sigma$-紧”推出“$X$是仿紧”）有点眉目，但现在又拿不准了——我能想到的是，每个连通分支都是闭集，作为局部紧空间$X$的闭子集，它本身也具备局部紧性，但接下来该怎么把这个条件和仿紧性挂钩呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Loulou