嘿，我来帮你一步步拆解这个问题~

首先，你已经把问题转化到了关键的一步：单位立方体中任意三点距离均小于1/3的概率，确实和单个坐标维度下，三个变量满足两两差绝对值不超过1/3的区域体积直接相关——因为两点距离小于1/3意味着每个坐标分量的差都小于1/3，而三个点任意两点距离都小于1/3，等价于每个坐标维度的三个分量的最大值和最小值的差不超过1/3（毕竟如果max-min≤1/3，任意两个分量的差自然不会超过这个值，反之亦然）。

接下来咱们先解决核心问题：计算$[0,1]^3$中满足$|x_1-x_2|\leq1/3$、$|x_2-x_3|\leq1/3$、$|x_3-x_1|\leq1/3$的区域体积，也就是三个变量的最大值与最小值的差不超过1/3的区域体积。

方法一：补集法（更直观） #

整个单位立方体的体积是1，我们可以先算不满足条件的区域体积（即max-min>1/3），再用1减去这个值得到目标体积。

• 分析补集的结构：
  对于三个变量，max-min>1/3的情况，每个点的最大值和最小值是唯一的（边界上变量相等的情况体积为0，不影响计算），所以可以拆成6种互斥的子情况：比如最大值是$x_1$、最小值是$x_3$，最大值是$x_1$、最小值是$x_2$，以此类推，每种情况的体积完全相等。

• 计算单个子情况的体积：
  以“最大值是$x_1$，最小值是$x_3$，且$x_1-x_3>1/3$”为例：

  • $x_1$的取值范围是$[1/3,1]$（因为要保证$x_3$能取到小于$x_1-1/3$的值）
  • 对于每个$x_1$，$x_3$的取值范围是$[0, x_1-1/3]$
  • $x_2$的取值范围是$[x_3, x_1]$（因为$x_1$是最大值，$x_3$是最小值）

  这个子情况的体积是三重积分：
  $$
  \int_{1/3}^1 \int_{0}^{x_1-1/3} \int_{x_3}^{x_1} dx_2 dx_3 dx_1
  $$
  一步步计算：

  1. 先对$x_2$积分，结果为$x_1 - x_3$
  2. 再对$x_3$积分：$\int_{0}^{x_1-1/3} (x_1 - x_3) dx_3 = \frac{1}{2}(x_1^2 - \frac{1}{9})$
  3. 最后对$x_1$积分：$\int_{1/3}^1 \frac{1}{2}(x_1^2 - \frac{1}{9}) dx_1 = \frac{10}{81}$

• 计算补集总体积：
  6种子情况的体积总和为$6 \times \frac{10}{81} = \frac{20}{27}$

• 目标区域体积：
  $1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}$

方法二：直接用已知公式 #

对于$[0,1]^n$中，n个变量的最大值与最小值的差不超过$t$的区域体积，当$0 \leq t \leq 1$时，有现成的组合公式：
$$
V(t) = 1 - n(1-t)^{n-1} + \binom{n}{2}(1-t)^{n-2} - \dots + (-1)^{n-1}\binom{n}{n-1}(1-t) + (-1)^n(1-t)n
$$
对于n=3，$t=1/3$，代入得：
$$
V(\frac{1}{3}) = 1 - 3(1-\frac{1}{3})^2 + 2(1-\frac{1}{3})^3 = 1 - 3\times\frac{4}{9} + 2\times\frac{8}{27} = \frac{7}{27}
$$
和补集法的结果完全一致。

回到概率问题 #

因为三个点的三个坐标维度是独立的，所以单位立方体中任意三点距离均小于1/3的概率，就是单个坐标维度目标区域体积的三次方：
$$
(\frac{7}{27})^3 = \frac{343}{19683} \approx 0.0174
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yangmills hojae