嘿，我来帮你把这个问题拆解清楚，顺便验证你的想法是否正确～

问题重述 #

假设一个 urn 里有8个黑球、6个白球、10个红球，无放回抽取7个球，分别考虑球可区分和不可区分两种情况：
a) 选7个球一共有多少种方式？
b) 抽到4个黑球的概率是多少？
c) 抽到5个黑球和2个红球的概率是多少？

你的思考我也看到了：

我觉得a部分两种情况的答案差异很大，应该是 $\binom{24}{7}$ 和 $\binom{9}{2}-1$。但我对b和c部分很好奇，我觉得这两部分在两种情况下结果应该相同，但希望有人能澄清是否正确，如果不是的话原因是什么。
我算出的结果是 $\frac{\binom{8}{4}\binom{16}{3}}{\binom{24}{7}}$ 和 $\frac{\binom{8}{5}\binom{10}{2}}{\binom{24}{7}}$

分情况详细解答 #

1. 球不可区分的情况 #

a) 选球的方式数

这其实是个整数分拆问题：我们要找非负整数解的数量，满足 $b + w + r = 7$（$b$是黑球数，$w$白球数，$r$红球数），同时 $b \leq 8$、$w \leq 6$、$r \leq 10$。因为7比所有颜色的球数上限都小，所以没有需要排除的无效解。

解的数量是组合数 $\binom{7 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{9}{2} = 36$，你写的 $\binom{9}{2}-1$ 应该是笔误啦，这里没有要减去的情况哦。

b) & c) 概率计算

这里有个关键知识点：不可区分球的“组合类型”并不是等概率的！比如“7个黑球”这个组合，对应的可区分球抽取方式只有 $\binom{8}{7}$ 种；而“4黑2白1红”这个组合，对应的可区分方式有 $\binom{8}{4}\binom{6}{2}\binom{10}{1}$ 种，两者的数量差很多。

在标准的urn抽样概率模型里，我们默认的是每个可区分的球被抽到的概率相等，也就是样本空间是所有可区分的7球子集。所以这时候b和c的概率计算，其实和球可区分的情况完全一致，就是你算出的那两个结果。

2. 球可区分的情况 #

a) 选球的方式数

这个很直接：从24个不同的球里选7个，组合数就是 $\binom{24}{7}$，你的判断是对的。

b) 抽到4个黑球的概率

样本空间大小是 $\binom{24}{7}$，符合条件的事件数是：从8个黑球里选4个（$\binom{8}{4}$），再从剩下的16个非黑球（6白+10红）里选3个（$\binom{16}{3}$），所以概率就是 $\frac{\binom{8}{4}\binom{16}{3}}{\binom{24}{7}}$，和你的计算一致。

c) 抽到5黑2红的概率

同理，符合条件的事件数是从8个黑球选5个（$\binom{8}{5}$）加上从10个红球选2个（$\binom{10}{2}$），概率就是 $\frac{\binom{8}{5}\binom{10}{2}}{\binom{24}{7}}$，你算的完全正确。

关键澄清：两种情况的概率是否相同？ #

你的猜想是对的！b和c的概率在两种情况下是一样的，原因是：
我们讨论的urn抽样概率，本质上是基于“每个可区分球等概率被抽取”这个前提，即使把球看作不可区分，概率计算还是要回归到可区分球的组合数比例——毕竟现实中每个球都是独立的个体，所谓“不可区分”只是我们忽略了它们的个体差异，但抽样的概率逻辑还是基于个体的。

只有当错误地假设“不可区分的组合类型是等概率的”时，结果才会不同，但这不符合实际的抽样模型哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anon314159