嘿，咱们来一步步拆解这个李群里的经典结论：当G既是群又是光滑流形，且乘法映射$\mu : G \times G \to G, \quad (x, y) \mapsto xy$光滑时，$\mu$在单位元对$(e,e)$处的切映射$d_{(e,e)} \mu$，恰好是把切空间里的元素对$(X,Y)$映射成$X+Y$。

核心思路：用光滑曲线表示切向量 #

计算流形上映射的切映射，最常用的技巧就是用光滑曲线来代表切向量——毕竟切向量本质上就是通过该点的光滑曲线的等价类嘛。

首先，我们取两条满足以下条件的光滑曲线$\alpha(t)$和$\beta(t)$：

• $\alpha(0) = e$，且$\alpha$在$t=0$处的导数$\alpha'(0) = X$（也就是$X$是$\alpha$代表的切向量）
• $\beta(0) = e$，且$\beta$在$t=0$处的导数$\beta'(0) = Y$（同理$Y$是$\beta$代表的切向量）

接下来，考虑这两条曲线通过乘法映射复合得到的新曲线：$\gamma(t) = \mu(\alpha(t),\beta(t)) = \alpha(t)\beta(t)$。根据切映射的定义，$d_{(e,e)} \mu(X,Y)$就是这条复合曲线$\gamma(t)$在$t=0$处的导数$\gamma'(0)$。

计算复合曲线的导数 #

现在我们用两种方式验证这个导数等于$X+Y$：

方法1：利用光滑函数的方向导数

对于任意定义在G上的光滑函数$f: G \to \mathbb{R}$，切向量$\gamma'(0)$对$f$的作用就是方向导数：
$$\gamma'(0)f = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} f(\alpha(t)\beta(t))$$

根据多元函数的链式法则，我们可以把这个导数拆成两部分：

• 先固定$\beta(t)=e$，此时曲线变成$\alpha(t)e=\alpha(t)$，它的导数对$f$的作用就是$Xf$；
• 再固定$\alpha(t)=e$，此时曲线变成$e\beta(t)=\beta(t)$，它的导数对$f$的作用就是$Yf$。

因为切映射是线性的，所以两者相加就是总导数：
$$\gamma'(0)f = Xf + Yf = (X+Y)f$$

由于这个等式对所有光滑函数$f$都成立，根据切向量的定义，$\gamma'(0)=X+Y$，也就是$d_{(e,e)} \mu(X,Y)=X+Y$。

方法2：局部坐标展开

如果觉得抽象，我们可以用局部坐标来直观验证。在单位元$e$附近取局部坐标系，设$e$的坐标是$(0,0,...,0)$，$\alpha(t)$的坐标是$(tX^1 + o(t), tX^2 + o(t), ..., tX^n + o(t))$，$\beta(t)$的坐标是$(tY^1 + o(t), tY^2 + o(t), ..., tY^n + o(t))$。

因为乘法映射$\mu$是光滑的，它的坐标函数$\mu^i(x,y)$在$(e,e)$处的泰勒展开满足：
$$\mu^i(x,y) = x^i + y^i + o(|x|+|y|)$$
（因为$\mu(e,e)=e$，且光滑性保证高阶项是小量）

那么$\gamma(t)=\alpha(t)\beta(t)$的坐标就是：
$$\gamma^i(t) = \mu^i(\alpha(t),\beta(t)) = tX^i + tY^i + o(t)$$

对$t$求导并代入$t=0$，得到：
$$(\gamma'(0))^i = X^i + Y^i$$
这正好是切向量$X+Y$的坐标，所以$\gamma'(0)=X+Y$，结论得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者some_math_guy