在讲解齐次Dirichlet边界条件（$u=0$）下热方程的最大值原理后，有个备注提到类似的推导逻辑也适用于下面这套带Neumann边界条件的热方程：

$$
\begin{align}
u_{t}&=\Delta u& &\text{on } U \times(0, T)\
\frac{\partial u}{\partial \nu}& =0 & &\text{on }\partial U\
u(x,0)&=u_0 .
\end{align}
$$

备注里特别指出，当边界$\partial U$足够光滑时，解$u$的最大值和最小值都会在$t=0$时刻取得。我想把这里的推导细节理清楚，于是先照着最大值原理的思路尝试：假设在区域内某点$(x_0,t_0)=p_0 \in U$存在一个局部最大值，此时应该满足：

$$
u_t - \Delta u <0.
$$

当$t_0 >0$时，这就意味着……（原推导内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jmil18