如果 (f(x)= x^2 + ax+b) 且 (f(2)+f(3)<2)，那么方程 (f(x)=1) 的根的性质是什么？

你提到的“(f(2))和(f(3))中至少有一个小于1”这个思路完全找对了方向，这就是解开这个问题的关键钥匙，咱们顺着这个点往下推就能得到结论啦。

首先，先把目标方程 (f(x)=1) 变形一下，得到 (g(x)=f(x)-1 = x^2 + ax + (b-1))，我们要判断 (g(x)=0) 的根的情况——这是个开口向上的抛物线（二次项系数为1，大于0）。

根据已知条件 (f(2)+f(3)<2)，咱们反推一下：如果 (f(2)\geq1) 且 (f(3)\geq1)，那两者的和肯定≥2，这和题目给的条件矛盾，所以必然存在至少一个点（2或者3）使得 (f(x_0)<1)，也就是 (g(x_0)=f(x_0)-1 <0)。

对于开口向上的抛物线来说，当x趋向正无穷或负无穷时，(g(x)) 都会趋向正无穷，而现在中间存在一个点的函数值为负，那这条抛物线必然会和x轴相交两次，也就是说方程 (g(x)=0) 有两个不相等的实数根，也就是原方程 (f(x)=1) 有两个不同的实根。

如果你想用判别式的方法验证的话，也可以：
先展开 (f(2)+f(3))：
(f(2)=4+2a+b)，(f(3)=9+3a+b)，相加得 (13+5a+2b <2)，整理得 (5a+2b < -11)。
目标方程的判别式 (\Delta = a^2 -4(b-1) = a^2 -4b +4)，从 (5a+2b < -11) 可以推出 (2b < -11-5a)，即 (b < \frac{-11-5a}{2})。
把b的上限代入判别式：
(\Delta > a^2 -4\times\frac{-11-5a}{2} +4 = a^2 + 2(11+5a) +4 = a^2+10a+26 = (a+5)^2 +1)
因为平方数是非负的，所以 ((a+5)^2 \geq0)，那么 (\Delta \geq1>0)，这也能直接得出判别式大于0，方程有两个不相等的实根。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Atharva Thakur