我完全懂你刚接触时的困惑——看着这串无穷乘积，第一反应简直是“这不是多此一举吗？直接数奇数分拆的数量不就得了，搞生成函数干嘛？”但其实生成函数的价值，远不止是“写出表达式”这么简单，它是把组合问题转化为代数问题的超级工具，给我们打开了很多直接枚举做不到的大门：

• 轻松证明组合恒等式
  最经典的例子就是欧拉的结论：n的奇数分拆数 = n的无重复分拆数。如果靠枚举，你可能只能验证小的n成立，但要证明对所有n都成立几乎不可能。但用生成函数就很直接：
  无重复分拆的生成函数是 $\prod_{n\geq1}(1+x^n)$，我们可以做个代数变形：
  $$
  \prod_{n\geq1}(1+x^n) = \prod_{n\geq1}\frac{1-x^{2n}}{1-xn} = \prod_{k \text{ 奇数}}\frac{1}{1-x^k}
  $$
  右边刚好就是奇数分拆的生成函数！两个生成函数完全相等，意味着它们对应$x^n$的系数（也就是分拆数）必然相等，直接一步到位证明了这个恒等式，这比枚举靠谱一万倍。

• 推导递推公式，批量计算分拆数
  当r很大的时候，手动数奇数分拆数不仅容易错，还慢得离谱。但生成函数可以通过代数操作，得到分拆数的递推关系。比如我们可以把奇数分拆的生成函数写成 $F(x) = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x^3} \cdot \frac{1}{1-x^5} \dots$，两边取对数或者做乘法展开，就能得到递推式，有了递推，不管n多大，都可以用程序或者表格批量计算，效率直接拉满。

• 大n时的渐近估计
  当n趋近于无穷大时，直接数分拆数根本不可能，但生成函数可以用复分析的工具（比如留数定理）推导分拆数的渐近公式，比如著名的Hardy-Ramanujan渐近式，能让我们快速估算极大n对应的分拆数数量，这是直接枚举完全做不到的。

• 统一的组合问题框架
  生成函数把分拆、子集、排列等各种组合问题，都转化为多项式或幂级数的代数问题。一旦你掌握了生成函数的操作技巧，很多不同的组合问题都可以用同一套思路解决，不用每个问题都重新想枚举的方法，相当于给了你一个通用的工具箱。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alt User