嘿，我最近在推导反双曲余割函数$\frac{d}{dx}\text{cosech}^{-1}x$的导数时遇到了个困惑，先把我的推导过程放出来，大家帮我看看问题出在哪：

$$
\begin{align*}
y = \text{cosech}^{-1}(x) & & & & &..(1)\
\text{cosech}(y) = x & & & & &..(2)\
\frac{d}{dx}\text{cosech}(y) = \frac{d}{dx}x & & & & &..(3)\
-\text{cosech}(y) \cdot \text{coth}(y) \frac{dy}{dx} = 1 & & & & &..(4)\
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\text{cosech}(y)\cdot\text{coth}(y)} & & & & &..(5)\
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\text{cosech}(y)\cdot\sqrt{\text{cosech}^2(y) + 1}} & & & & &..(6)\
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\text{cosech}(\text{cosech}^{{-1}(x))\cdot\sqrt{\text{cosech}}2(\text{cosech}^{-1}(x)) + 1}} & & & & &..(7)\
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2 + 1}} & & & & &..(8)
\end{align*}
$$

可实际上，标准的导数公式是这样的：
$$\frac{d}{dx}\text{cosech}^{-1}x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2+1}}$$

我发现换一种推导思路就能得到带绝对值符号的正确结果，不过刚才的替代推导没写完，现在主要的疑问是：我第一次推导里为什么会漏掉绝对值符号？问题到底出在哪个步骤上呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DevRS