大家好，我最近在啃拓扑学习题时卡壳在一个证明题上，想请各位大佬帮忙捋捋思路！

命题内容 #

设$M$是连通度量空间，$X \subset M$是连通子集，$A \subseteq M \setminus X$且$A$在$M \setminus X$中是**既开又闭（clopen）**的。需要证明$A \cup X$是连通的。

我的推导进度 #

我一开始想用反证法：假设$A \cup X$是不连通的，那根据定义，存在$A \cup X$的两个非空不交开子集$U$和$V$，满足$A \cup X = U \cup V$。

因为$X$本身是连通的，所以$X$肯定整个落在$U$或者$V$里面——毕竟如果$X$同时和$U$、$V$相交的话，$X \cap U$和$X \cap V$就会把$X$分成两个非空不交的相对开子集，这就和$X$连通矛盾了。

假设$X \subseteq U$，那剩下的$A$就只能全在$V$里了。但到这一步我就不知道该怎么继续了，怎么用$A$在$M \setminus X$中既开又闭这个条件来导出矛盾，从而推翻“$A \cup X$不连通”的假设呢？

有没有大佬能给我指个方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Rock