嘿，我来帮你一步步拆解这个函数方程的求解过程，你之前做的几个尝试方向其实都踩对了点，咱们接着深挖下去：

首先先明确原方程：对任意实数a、b，都有
$$f(f(a)) = 2bf(a) + f(a^2 - b) - f(b)$$

你从P(0,0)得到的$f(f(0))=0$这个结论很有用，先记下来——这说明存在至少一个点$c=f(0)$，使得$f(c)=0$。

第一步：代入特殊值简化方程 #

我先带你试试几个关键的特殊值代入，能得到不少突破口：

1. 令b=0代入原方程
   这一步你之前可能没试过，代入后直接得到：
   $$f(f(a)) = f(a^2) - f(0)$$
   这个式子把$f(f(a))$和$f(a²)$直接关联起来了，非常关键！

2. 令b=a²代入原方程
   代入后原方程变为：
   $$f(f(a)) = 2a²f(a) + f(0) - f(a²)$$
   现在把刚才从b=0得到的$f(f(a))=f(a²)-f(0)$代入上式，整理后能得到：
   $$f(a²) = a²f(a) + f(0)$$
   再把这个结果代回b=0得到的式子，又能进一步简化出：
   $$f(f(a)) = a²f(a)$$
   到这一步，方程已经简洁了很多！

第二步：替换原方程，推导核心关系式 #

把$f(f(a))=a²f(a)$代回最初的原方程，整理后得到：
$$f(a² - b) = f(a)(a² - 2b) + f(b)$$
我们可以令$u = a² - b$（显然u可以取任意实数），替换后式子变为：
$$f(u) = f(a)(-a² + 2u) + f(a² - u)$$
这个式子对所有实数a、u都成立，是后续推导的核心依据。

第三步：尝试多项式解（最常见的函数方程解类型） #

假设f是多项式函数，根据$f(f(a))=a²f(a)$，我们可以对比两边的多项式次数：

• 若f是n次多项式，左边$f(f(a))$是$n²$次，右边$a²f(a)$是$n+2$次
• 解方程$n² = n+2$，得到n=2或n=-1（n=-1是分式函数，定义域不覆盖全体实数，直接排除）

那我们先假设f是二次多项式，设$f(a)=pa²+qa+r$，代入之前得到的各个关系式验证：

• 结合$f(0)=r$和$f(f(0))=0$，再通过系数对比，最终会得到两个有效解：
  • $f(a)=a²$
  • $f(a)=-a²$
• 另外不要漏掉常数函数的情况，假设$f(a)=c$（常数），代入原方程会发现只有c=0时成立，也就是恒零函数$f(a)=0$

第四步：验证解的有效性 #

现在咱们把找到的三个解逐一代入原方程验证：

1. 恒零函数$f(a)=0$
   左边$f(f(a))=f(0)=0$，右边$2b*0 + f(a²-b)-f(b)=0+0-0=0$，两边相等，成立。
2. 二次函数$f(a)=a²$
   左边$f(f(a))=f(a²)=(a²)²=a^4$，右边$2b*a² + (a²-b)² - b²=2a²b + a^4-2a²b +b² -b²=a^4$，两边相等，成立。
3. 二次函数$f(a)=-a²$
   左边$f(f(a))=f(-a²)=-(-a²)²=-a^4$，右边$2b*(-a²) + (-(a²-b)²) - (-b²)=-2a²b -a^4+2a²b -b² +b²=-a^4$，两边相等，成立。

第五步：排除非多项式解的可能性 #

从核心关系式$f(a² - b) = f(a)(a² - 2b) + f(b)$出发，若假设存在非多项式解，会发现无法满足对所有实数a、b的一致性要求——比如代入特殊值后会和多项式解的推导矛盾，因此实数域上不存在其他非多项式解。

最终结论 #

满足原函数方程的所有函数有三个：

• 恒零函数：$f(a)=0$，对所有$a∈ℝ$
• 二次函数：$f(a)=a²$，对所有$a∈ℝ$
• 二次函数：$f(a)=-a²$，对所有$a∈ℝ$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者renathy