咱们一步步来求解这个多元函数的全局极值，过程会尽量清晰易懂：

步骤1：变量替换与一阶偏导数计算 #

先做个简化替换，令 $u = e^{-x2-y^2}$，这样求偏导会方便很多。

计算函数对$x$和$y$的一阶偏导数：

• 对$x$的偏导：
  $f_x = 2xu - 2xu(x^2+y2) = 0$
• 对$y$的偏导：
  $f_y = 2yu - 2yu(x^2+y2) = 0$

因为 $u = e^{-x2-y^2}$ 恒不为0，我们可以直接把$u$约掉，得到核心方程：
$2x(1 - x^2 - y^2) = 0$，这意味着要么 $x=0$，要么 $1 - x^2 - y^2=0$；对$y$的方程也能得到完全对应的结论。

步骤2：寻找所有临界点 #

分两种情况讨论满足一阶偏导为0的点：

1. 当 $x=0$ 时，代入$y$的方程得 $2y(1 - y^2)=0$，解得 $y=0$、$y=\pm1$，对应临界点为：$(0,0)$、$(0,1)$、$(0,-1)$。
2. 当 $1 - x^2 - y^2=0$（也就是单位圆上的点）时，代入原方程推导可得临界点 $(\pm1, 0)$。

步骤3：构造Hessian矩阵判断极值类型 #

Hessian矩阵由二阶混合偏导数构成，形式如下：
$$
H(x,y) = \begin{pmatrix}
f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \
f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)
\end{pmatrix}
$$
计算并整理各二阶偏导后，得到：
$$
H(x,y) = \begin{pmatrix}
2 - 10x^2 - 2y^2 + 4x^4 + 4x^2y2 & 4x^3y + 4xy^3 \
4x^3y + 4xy^3 & 2 - 10y^2 - 2x^2 + 4y^4 + 4x^2y2
\end{pmatrix}
$$

接下来逐个代入临界点分析：

• 点$(0,0)$：代入Hessian得
  $$H(0,0) = \begin{pmatrix}2 & 0 \ 0 & 2\end{pmatrix}$$
  行列式为$4>0$，且主对角线元素全为正，因此$(0,0)$是局部极小值点。又因为$f(x,y)=(x^2+y2)e^{-x2-y^2} \geq 0$，仅在$(0,0)$处取到0，所以这是全局极小值点，全局极小值为0。
• 点$(0,\pm1)$、$(\pm1,0)$：以$(1,0)$为例，代入Hessian得
  $$H(1,0) = \begin{pmatrix}-4 & 0 \ 0 & 0\end{pmatrix}$$
  行列式为0，此时换用函数单调性分析：令$t=x^2+y2$，则$f(t)=te^{{-t}$，求导得$f'(t)=e}{-t}(1-t)$。当$0<t<1$时$f'(t)>0$，函数递增；$t>1$时$f'(t)<0$，函数递减，因此$t=1$时$f(t)$取最大值$1/e$。这些点均为全局极大值点，全局极大值为$1/e$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Antony