带边缘三角形移除的a阶方形网格的路径数量求解

我一直在琢磨，当一个a阶方形网格的边缘被切掉一个三角形后，网格里的可行路径总数是多少。为了先搞懂基础情况，我先从剩余2个小方格的简单场景入手，但其实我更感兴趣的是这个问题的通用解法。

这里有个直观的示例图，对应a=10且仅剩余2个方格的情况：

我已经知道，完全不触碰对角线的网格路径数量由卡特兰数给出，也就是$\frac{(2a)!}{(a+1)!a!}$，这可以作为我们要求的路径数的下界；而上界显然是完整方形网格的总路径数$\frac{(2a)!}{a!^2}$。我尝试推导那些会穿过这条偏移后的对角线的路径数量，不过一开始的思路……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Doe