从Wolfram Alpha给出的cos^P(x)不定积分表达式推导其0到2π的定积分

我之前留意到有个类似的定积分问题已经有不错的解答，但我这次的需求不一样：我想从Wolfram Alpha给出的$\cos^{P(x)$不定积分表达式出发，推导出它在0到2π区间上的定积分结果。这个过程里我还碰到了一些有用的知识点，比如如何处理*$\sqrt{\sin}2(x)}\csc{x}$*在$x=0$或$x=2\pi$处的情况，也让我意识到有时候Wolfram Alpha未必是解题的最优起点。

先给大家看一下Wolfram Alpha给出的$\int \cos^P(x)\text{ d}x$的不定积分表达式：

$$\int \cos^P(x) \text{ d}x=\frac{-\sqrt{\sin^{2(x)}\csc(x)\cos}{P+1}(x),_2F_1\big(\frac{1}{2},\frac{P+1}{2};\frac{P+3}{2};\cos^2(x)\big)}{P+1}$$

我希望能基于这个表达式，推导出$\int_{0}^{2\pi} \cos^P(x)\text{ d}x$的具体结果...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者steveOw