嘿，我来帮你搞定这个问题，分两部分说哈：

一、原问题回顾 #

设随机变量$X$和$Y$满足$E[X^2] + E[Y^2] < \infty$，证明：
$$E[\sqrt{X^2 + Y^2}] \geq \sqrt{(E[X])^2 + (E[Y])^2}.$$
并基于上述不等式，构造对应的实数序列初等不等式。

二、概率不等式的证明 #

我们用Jensen不等式就能轻松搞定这个证明，先回忆下Jensen不等式的核心：对于凸函数$f$，只要随机变量的期望存在，就有$E[f(Z)] \geq f(E[Z])$。

首先看函数$f(t_1, t_2) = \sqrt{t_1^2 + t_2^{2}$，这是$\mathbb{R}}2$上的L2范数，而所有的范数都是凸函数——满足对任意$\lambda \in [0,1]$和$a,b \in \mathbb{R}^2$，有$f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)$。

把随机向量$(X,Y)$代入Jensen不等式，直接得到：
$$E\left[\sqrt{X^2 + Y^2}\right] = E[f(X,Y)] \geq f(E[X], E[Y]) = \sqrt{(E[X])^2 + (E[Y])^2}$$
另外题目给的条件$E[X^2] + E[Y^2] < \infty$，是为了保证$\sqrt{X^2 + Y^{2}$的期望存在：因为$\sqrt{X}2 + Y^2} \leq |X| + |Y|$，由柯西不等式，$E[|X|] \leq \sqrt{E[X^2]} < \infty$，同理$E[|Y|] < \infty$，所以$E[\sqrt{X^2 + Y^2}]$是有限的，完全满足Jensen不等式的应用前提。

三、对应实数序列的初等不等式 #

你已经找对方向啦！我们可以把离散实数序列对应成均匀分布的离散随机变量：假设我们有$n$对实数$(x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_n,y_n)$，定义离散随机变量$X$取$x_i$的概率是$\frac{1}{n}$，$Y$取$y_i$的概率也是$\frac{1}{n}$。

那套用到刚才的概率不等式里：

• $E[X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，$E[Y] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$
• $E[\sqrt{X^2 + Y^2}] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i^2 + y_i^2}$

替换进去就得到对应的初等不等式：
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \geq \sqrt{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 + \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \right)^2}$$
如果两边乘以$n$，还能写成求和形式：
$$\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \geq n \cdot \sqrt{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 + \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \right)^2}$$
这个不等式的本质就是“平均的L2范数不小于范数的平均”，和概率版本的结论完全呼应。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex Nguyen