问题描述 #

已知玩家A在单轮游戏中获胜的概率是1/10，玩家B是2/10，玩家C是3/10。如果某一轮没有玩家获胜，游戏就进入下一轮，获胜概率保持不变，直到有玩家获胜为止。

我的疑问是：计算玩家A最终赢得整个游戏的概率时，结果是1/10吗？还是其他数值？

我一直搞不懂A最终获胜的概率到底是多少，以及为什么是这个结果。

既然每一轮的概率都会重置，那不管有多少轮，概率不应该保持不变吗？但这好像不太符合直觉。

希望能得到相关的分析，谢谢！

解答分析 #

其实你这个疑问特别常见，很多人一开始都会误以为“单轮胜率就是最终胜率”，但这里咱们得注意**“进入下一轮”这个前提带来的影响**，咱们一步步拆解清楚：

首先先算一轮里“无人获胜”的概率：1 - 1/10 - 2/10 - 3/10 = 4/10，也就是说每轮有40%的概率会开启下一轮，游戏继续进行。

现在咱们设玩家A最终获胜的概率为P，可以从两种核心情况来推导这个概率：

• 第一种情况：A在第一轮就直接赢了，这个概率是1/10，这时候A直接拿下游戏；
• 第二种情况：第一轮没人获胜（概率是4/10），这时候游戏相当于“完全重置”，因为每轮的胜率都是固定的，所以这时候A最终获胜的概率还是P。

基于这两种情况，我们可以列出一个方程：
P = (1/10) + (4/10)*P

接下来解这个方程就很简单了：
把右边的(4/10)*P移到左边，得到 P - (4/10)P = 1/10，也就是 (6/10)P = 1/10，最后算出 P = (1/10)/(6/10) = 1/6。

那为什么不是1/10呢？因为1/10只是A在第一轮获胜的概率，但如果第一轮没人赢，A还有后续的机会，只不过这些后续机会的权重需要乘以“进入下一轮”的概率。换个更直观的角度想：最终肯定会有一个人赢（因为每轮有60%的概率有人获胜，无限轮下来没人赢的概率趋近于0），所以A、B、C的最终获胜概率之比，应该等于他们的单轮胜率之比——1:2:3，加起来一共6份，所以A占1/6，B占2/6=1/3，C占3/6=1/2，三者加起来正好是1，这也完全符合逻辑。

你觉得不符合直觉的地方，大概率是混淆了“单轮获胜概率”和“最终获胜概率”：单轮胜率是在当前这一轮赢的概率，而最终获胜概率是“在所有可能的轮次中，A是第一个赢的那个人”的概率，后者需要把所有轮次的可能性都考虑进去。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dqdq dqsss