嘿，我来帮你把这个问题理得明明白白——你用分部积分法的步骤完全没问题，结果也是对的！别因为标答用了另一种方法就怀疑自己～

其实你和标答的结果本质上是等价的，只是看起来形式不同而已，核心原因是积分里的常数项可以灵活合并调整。我给你一步步对比验证：

• 你用分部积分得到的表达式是：
  $$u+c=x(x-a)^{-1}-\ln{|x-a|}+c$$
  咱们把 $\frac{x}{x-a}$ 拆成 $\frac{(x-a)+a}{x-a} = 1 + \frac{a}{x-a}$，代入之后就变成：
  $$u = 1 + \frac{a}{x-a} - \ln|x-a| + C_1$$
  这里的常数1可以直接合并到右边的常数项里，比如令 $C_2 = C_1 + 1$，就得到：
  $$u = \frac{a}{x-a} - \ln|x-a| + C_2$$

• 再看标答用分式拆分的计算结果：
  先算积分：
  $$-\int\left(\frac{1}{x-a}+\frac{a}{(x-a)^2}\right)dx = -\left(\ln|x-a| - \frac{a}{x-a}\right) + C_3 = \frac{a}{x-a} - \ln|x-a| + C_3$$
  你看，和上面整理后的分部积分结果完全一致！

那为什么标答不选分部积分呢？主要是因为分式拆分的方法更直接，计算步骤更少，而且不容易在分部积分的符号、u/dv的选择上出错——分部积分虽然好用，但符号问题是很多人容易踩的坑，标答通常会选最稳妥、步骤最简洁的方法，避免考生因为小失误丢分。

总结一下：

• 你的分部积分操作没有任何问题，结果完全正确
• 两种积分方法都是有效的，结果等价，差异只是常数项的不同表达形式
• 标答选分式拆分只是为了计算更简便，规避分部积分可能带来的符号错误

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adrian Lopez-Torres