问题说明 #

咱们要解决的问题是：证明下面这个方程组在点 ( P = (-1, -1, -1, -1) ) 的附近区域里，能把 ( u ) 和 ( v ) 表示成 ( x ) 和 ( y ) 的函数，同时算出在点P处的四个偏导数 ( \frac{\partial u}{\partial x} )、( \frac{\partial u}{\partial y} )、( \frac{\partial v}{\partial x} ) 和 ( \frac{\partial v}{\partial y} )：
$$
\begin{cases}
xu + yvu^2 = 2 \
xu^3 + y^2v4 = 2
\end{cases}
$$

一步步解决问题 #

第一步：构造隐函数向量 #

首先，咱们把方程组转化为隐函数的形式，定义一个从 ( \mathbb{R}^4 ) 到 ( \mathbb{R}^2 ) 的向量函数 ( F(x,y,u,v) = (F_1(x,y,u,v), F_2(x,y,u,v)) )，其中：
$$
\begin{align*}
F_1(x,y,u,v) &= xu + yvu^2 - 2 \
F_2(x,y,u,v) &= xu^3 + y^2v4 - 2
\end{align*}
$$
这样原方程组就等价于 ( F(x,y,u,v) = (0,0) )，方便我们用隐函数定理来分析。

第二步：验证F在P点的取值 #

隐函数定理要求在点P处F的值是零向量，咱们来算一下：

• 代入P点坐标到 ( F_1 )：( F_1(-1,-1,-1,-1) = (-1)(-1) + (-1)(-1)(-1)^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 )
• 代入到 ( F_2 )：( F_2(-1,-1,-1,-1) = (-1)(-1)^3 + (-1)^2(-1)4 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 )
  完美，满足 ( F(P) = 0 ) 的条件。

第三步：计算雅可比行列式，判断可解性 #

接下来要确认F关于 ( u ) 和 ( v ) 的雅可比行列式在P点不为零，这是隐函数存在的核心条件。

先写出雅可比矩阵 ( J_{u,v}F )：
$$
J_{u,v}F = \begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial u} & \frac{\partial F_1}{\partial v} \
\frac{\partial F_2}{\partial u} & \frac{\partial F_2}{\partial v}
\end{pmatrix}
$$

咱们逐个计算偏导数：

• ( \frac{\partial F_1}{\partial u} = x + 2yvu )
• ( \frac{\partial F_1}{\partial v} = yu^2 )
• ( \frac{\partial F_2}{\partial u} = 3xu^2 )
• ( \frac{\partial F_2}{\partial v} = 4y^2v3 )

现在把P点的坐标代入进去：

• ( \frac{\partial F_1}{\partial u}\bigg|_P = (-1) + 2(-1)(-1)(-1) = -1 -2 = -3 )
• ( \frac{\partial F_1}{\partial v}\bigg|_P = (-1)(-1)^2 = -1 )
• ( \frac{\partial F_2}{\partial u}\bigg|_P = 3(-1)(-1)^2 = -3 )
• ( \frac{\partial F_2}{\partial v}\bigg|_P = 4(-1)^2(-1)3 = -4 )

计算行列式：
$$
\det(J_{u,v}F)\bigg|_P = (-3)(-4) - (-1)(-3) = 12 - 3 = 9 \neq 0
$$

因为F的所有偏导数都是多项式，肯定是连续可微的，加上 ( F(P)=0 )，且雅可比行列式不为零，根据隐函数定理，咱们就能确定：在P点的某个邻域里，方程组可以唯一把u和v表示成x、y的连续可微函数，也就是存在 ( u(x,y) ) 和 ( v(x,y) ) 满足原方程组，而且 ( u(-1,-1)=-1 )，( v(-1,-1)=-1 )。

第四步：求解四个偏导数 #

现在来算P点处的偏导数，咱们直接对原方程组两边分别对x和y求偏导，得到线性方程组后求解就行。

对x求偏导

把原方程组两边对x求偏导（记住u和v都是x、y的函数，要用链式法则哦）：
$$
\begin{cases}
u + x\frac{\partial u}{\partial x} + y\left( \frac{\partial v}{\partial x}u^2 + v\cdot 2u\frac{\partial u}{\partial x} \right) = 0 \
u^3 + x\cdot 3u^2\frac{\partial u}{\partial x} + y^2\cdot 4v^3\frac{\partial v}{\partial x} = 0
\end{cases}
$$

代入P点坐标，令 ( a = \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_P )，( b = \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_P )，化简后得到：
第一个方程：
$$
-1 -a - (b + 2a) = 0 \implies -3a - b = 1 \tag{1}
$$
第二个方程：
$$
-1 -3a -4b = 0 \implies -3a -4b = 1 \tag{2}
$$

用(2)-(1)消去a，得到 ( -3b=0 )，所以 ( b=0 )，再代入(1)得 ( a=-\frac{1}{3} )。

也就是 ( \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_P = -\frac{1}{3} )，( \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_P = 0 )。

对y求偏导

同样地，对y求偏导：
$$
\begin{cases}
x\frac{\partial u}{\partial y} + v u^2 + y\left( \frac{\partial v}{\partial y}u^2 + v\cdot 2u\frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0 \
x\cdot 3u^2\frac{\partial u}{\partial y} + 2yv^4 + y^2\cdot4v3\frac{\partial v}{\partial y} = 0
\end{cases}
$$

代入P点坐标，令 ( c = \frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_P )，( d = \frac{\partial v}{\partial y}\bigg|_P )，化简后：
第一个方程：
$$
-c -1 - (d + 2c) = 0 \implies -3c -d =1 \tag{3}
$$
第二个方程：
$$
-3c -2 -4d =0 \implies -3c -4d=2 \tag{4}
$$

用(4)-(3)消去c，得到 ( -3d=1 )，所以 ( d=-\frac{1}{3} )，代入(3)得 ( c=-\frac{2}{9} )。

也就是 ( \frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_P = -\frac{2}{9} )，( \frac{\partial v}{\partial y}\bigg|_P = -\frac{1}{3} )。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者j.primus